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数学2 面積・接線問題 96 解説

方針・初手

(1) 2曲線の交点の $x$ 座標は、2つの式を連立した3次方程式の実数解として得られる。この方程式は $x=0$ を明らかに解にもつため、$x$ をくくり出したあとの2次方程式が「$x \neq 0$ の異なる2実数解」をもつ条件を求めればよい。

(2) (1)の条件のもとで、3次方程式の3つの解の大小関係によって面積の積分区間が変わるため、$a$ の符号による場合分けが必要となる。面積が等しいという条件は、2つの定積分の和（一方の符号を反転させたもの）が0になることを利用し、1つの積分区間にまとめて $\int f(x) dx = 0$ の形に持ち込むと計算量が減る。さらに、3次関数のグラフの対称性に着目すると積分計算を回避できる。

解法1

(1) $C_1: y = x^3$ と $C_2: y = 2x^2 - ax$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の実数解である。

$$x^3 = 2x^2 - ax$$

$$x^3 - 2x^2 + ax = 0$$

$$x(x^2 - 2x + a) = 0$$

これが異なる3つの実数解をもつための条件は、2次方程式 $x^2 - 2x + a = 0$ が $x \neq 0$ なる異なる2つの実数解をもつことである。 $x^2 - 2x + a = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ であるから、

$$\frac{D}{4} = (-1)^2 - 1 \cdot a = 1 - a > 0$$

よって、$a < 1$ を得る。また、$x=0$ を解にもたないための条件は、

$$0^2 - 2 \cdot 0 + a \neq 0$$

よって、$a \neq 0$ を得る。したがって、求める $a$ の条件は $a < 1$ かつ $a \neq 0$ である。

(2) (1)の条件を満たすとき、$x^2 - 2x + a = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) とする。解と係数の関係より、以下が成り立つ。

$$\alpha + \beta = 2, \quad \alpha\beta = a$$

$f(x) = x^3 - 2x^2 + ax$ とおく。2曲線の交点の $x$ 座標は $0, \alpha, \beta$ であり、$a$ の値によってこれらの大小関係が変わるため場合分けを行う。$\alpha + \beta = 2$ より、$\alpha$ と $\beta$ の少なくとも一方は正である。

(i) $a < 0$ のとき $\alpha\beta < 0$ となるため、$\alpha < 0 < \beta$ である。 $C_1$ と $C_2$ で囲まれる2つの部分の面積が等しくなる条件は、

$$\int_{\alpha}^{0} f(x) dx = \int_{0}^{\beta} \{-f(x)\} dx$$

移項してまとめると、以下のようになる。

$$\int_{\alpha}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{\beta} f(x) dx = 0$$

$$\int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx = 0$$

これを計算する。

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x^3 - 2x^2 + ax) dx = 0$$

$$\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 \right]_{\alpha}^{\beta} = 0$$

$$\frac{1}{4}(\beta^4 - \alpha^4) - \frac{2}{3}(\beta^3 - \alpha^3) + \frac{a}{2}(\beta^2 - \alpha^2) = 0$$

$\beta - \alpha > 0$ より両辺を $\beta - \alpha$ で割って整理する。

$$\frac{1}{4}(\beta+\alpha)(\beta^2+\alpha^2) - \frac{2}{3}(\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2) + \frac{a}{2}(\beta+\alpha) = 0$$

ここで、$\beta^2+\alpha^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 4 - 2a$ であり、$\beta^2+\alpha\beta+\alpha^2 = (\alpha+\beta)^2 - \alpha\beta = 4 - a$ である。これらを代入する。

$$\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot (4 - 2a) - \frac{2}{3}(4 - a) + \frac{a}{2} \cdot 2 = 0$$

$$\frac{1}{2}(4 - 2a) - \frac{8}{3} + \frac{2}{3}a + a = 0$$

$$2 - a - \frac{8}{3} + \frac{5}{3}a = 0$$

$$\frac{2}{3}a - \frac{2}{3} = 0$$

これを解くと $a = 1$ となるが、これは $a < 0$ を満たさないため不適である。

(ii) $0 < a < 1$ のとき $\alpha\beta > 0$ かつ $\alpha+\beta > 0$ となるため、$0 < \alpha < \beta$ である。 $C_1$ と $C_2$ で囲まれる2つの部分の面積が等しくなる条件は、

$$\int_{0}^{\alpha} f(x) dx = \int_{\alpha}^{\beta} \{-f(x)\} dx$$

同様に移項してまとめると、以下のようになる。

$$\int_{0}^{\alpha} f(x) dx + \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx = 0$$

$$\int_{0}^{\beta} f(x) dx = 0$$

これを計算する。

$$\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 \right]_{0}^{\beta} = 0$$

$$\frac{1}{4}\beta^4 - \frac{2}{3}\beta^3 + \frac{a}{2}\beta^2 = 0$$

$\beta > 0$ より両辺を $\beta^2$ で割る。

$$\frac{1}{4}\beta^2 - \frac{2}{3}\beta + \frac{a}{2} = 0$$

$\beta$ は $x^2 - 2x + a = 0$ の解であるから、$a = -\beta^2 + 2\beta$ が成り立つ。これを上式に代入する。

$$\frac{1}{4}\beta^2 - \frac{2}{3}\beta + \frac{-\beta^2 + 2\beta}{2} = 0$$

$$\frac{1}{4}\beta^2 - \frac{2}{3}\beta - \frac{1}{2}\beta^2 + \beta = 0$$

$$-\frac{1}{4}\beta^2 + \frac{1}{3}\beta = 0$$

$\beta > 0$ より両辺を $\beta$ で割る。

$$-\frac{1}{4}\beta + \frac{1}{3} = 0$$

$$\beta = \frac{4}{3}$$

このとき、$a$ の値は次のように定まる。

$$a = -\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{4}{3} = -\frac{16}{9} + \frac{24}{9} = \frac{8}{9}$$

これは $0 < a < 1$ を満たしている。

以上(i), (ii)より、求める $a$ の値は $a = \frac{8}{9}$ である。

解法2

(2) (1)より、$a < 1$ かつ $a \neq 0$ である。 $f(x) = x^3 - 2x^2 + ax$ とおく。曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた2つの部分の面積が等しくなるのは、グラフが3つの交点のうち中央の点に関して点対称になるとき、すなわち3つの交点の $x$ 座標が等差数列をなすときである。

$f(x)=0$ の3つの解は $0, \alpha, \beta$ （ただし $\alpha, \beta$ は $x^2-2x+a=0$ の解で $\alpha < \beta$）である。解と係数の関係より $\alpha + \beta = 2, \alpha\beta = a$ が成り立つ。

(i) $a < 0$ のとき $\alpha < 0 < \beta$ であるから、中央の交点は $x=0$ である。交点が等間隔に並ぶ条件は、以下のようになる。

$$\beta - 0 = 0 - \alpha$$

$$\alpha + \beta = 0$$

しかし、$\alpha + \beta = 2$ であるからこれを満たす $a$ は存在しない。

(ii) $0 < a < 1$ のとき $0 < \alpha < \beta$ であるから、中央の交点は $x=\alpha$ である。交点が等間隔に並ぶ条件は、以下のようになる。

$$\beta - \alpha = \alpha - 0$$

$$2\alpha = \beta$$

これと $\alpha + \beta = 2$ を連立して解く。

$$\alpha + 2\alpha = 2$$

$$3\alpha = 2 \iff \alpha = \frac{2}{3}$$

このとき $\beta = \frac{4}{3}$ となる。したがって $a$ の値は次のように定まる。

$$a = \alpha\beta = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{9}$$

これは $0 < a < 1$ を満たす。

以上(i), (ii)より、求める $a$ の値は $a = \frac{8}{9}$ である。

解説

(1)は交点の条件を問う基本問題である。3次方程式が $x=0$ を解にもつことを見抜き、残りの2次方程式の判別式と「$x=0$ を解にもたない条件」の2つを忘れずに立式することがポイントである。

(2)は面積計算の工夫が問われている。解法1のように、定積分の式を $\int_p^r f(x) dx = 0$ の形にまとめる手法は、積分計算の手間を大きく減らすことができるため習熟しておきたい。さらに解法2で示したように、3次関数のグラフが変曲点に関して点対称である性質を用いると、「面積が等しい」という条件を「交点が等間隔に並ぶ」という条件に言い換えることができ、計算量を劇的に削減できる。