数学2 定積分 問題 2 解説

方針・初手

定積分 $S(a)$ の被積分関数に含まれる絶対値 $|x-a|$ を外すことから始める。 積分区間は $0 \leqq x \leqq 1$ であるため、絶対値の中身 $x-a$ の符号は $a$ の値によって変わる。定数 $a$ が積分区間の左外、区間内、右外のどこにあるかで場合分けを行って定積分を計算する。 (2)では、(1)で求めた関数 $S(a)$ を微分し、増減表をかいて最小値を求める。

解法1

(1)

被積分関数の絶対値は次のように外れる。

$$|x-a| = \begin{cases} x-a & (x \geqq a) \\ -(x-a) & (x < a) \end{cases}$$

積分区間は $0 \leqq x \leqq 1$ であるため、$a$ の値によって3つの場合に分ける。

(i) $a < 0$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において常に $x - a > 0$ であるから、$|x-a| = x-a$ となる。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_0^1 x(x-a)dx \\ &= \int_0^1 (x^2 - ax)dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 \right]_0^1 \\ &= -\frac{1}{2}a + \frac{1}{3} \end{aligned}$$

(ii) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq a$ では $x - a \leqq 0$ なので $|x-a| = a-x$、区間 $a \leqq x \leqq 1$ では $x - a \geqq 0$ なので $|x-a| = x-a$ となる。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_0^a x(a-x)dx + \int_a^1 x(x-a)dx \\ &= \int_0^a (ax - x^2)dx + \int_a^1 (x^2 - ax)dx \\ &= \left[ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^a + \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 \right]_a^1 \\ &= \left( \frac{1}{2}a^3 - \frac{1}{3}a^3 \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{a}{2} \right) - \left( \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 \right) \\ &= \frac{1}{6}a^3 + \frac{1}{3} - \frac{a}{2} - \left( -\frac{1}{6}a^3 \right) \\ &= \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{3} \end{aligned}$$

(iii) $a > 1$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において常に $x - a < 0$ であるから、$|x-a| = a-x$ となる。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_0^1 x(a-x)dx \\ &= \int_0^1 (ax - x^2)dx \\ &= \left[ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2}a - \frac{1}{3} \end{aligned}$$

以上 (i), (ii), (iii) より、$S(a)$ は次のように求められる。

$$S(a) = \begin{cases} -\frac{1}{2}a + \frac{1}{3} & (a < 0) \\ \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{3} & (0 \leqq a \leqq 1) \\ \frac{1}{2}a - \frac{1}{3} & (a > 1) \end{cases}$$

(2)

(1) の結果をもとに $S(a)$ の増減を調べる。関数 $S(a)$ は実数全体で連続である。

(i) $a < 0$ のとき

$S(a) = -\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}$ であり、これは単調減少する。

(ii) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき

$S(a) = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{3}$ を $a$ で微分する。

$$S'(a) = a^2 - \frac{1}{2}$$

$S'(a) = 0$ とすると $a^2 = \frac{1}{2}$ であり、$0 \leqq a \leqq 1$ の範囲では $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

増減表は以下のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} a & 0 & \cdots & \frac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & 1 \\ \hline S'(a) & & - & 0 & + & \\ \hline S(a) & \frac{1}{3} & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \frac{1}{6} \end{array}$$

極小値は以下の通り計算できる。

$$\begin{aligned} S\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) &= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{3}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3} \\ &= -\frac{2}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{2-\sqrt{2}}{6} \end{aligned}$$

(iii) $a > 1$ のとき

$S(a) = \frac{1}{2}a - \frac{1}{3}$ であり、これは単調増加する。

以上 (i), (ii), (iii) より、実数全体での $S(a)$ の増減を考えると、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき最小となることがわかる。 したがって、最小値は $\frac{2-\sqrt{2}}{6}$ である。

解説

絶対値を含む定積分の標準的な問題である。 絶対値記号を外すために、積分変数 $x$ の動く範囲（積分区間）において絶対値の中身が正になるか負になるかを判断し、場合分けを行うのが定石である。本問では積分区間が $0 \leqq x \leqq 1$ に固定されており、定数 $a$ が動くため、$a < 0$、$0 \leqq a \leqq 1$、$a > 1$ の3通りで場合分けをする。 (1)の計算結果が区間の端点 $a=0, 1$ で一致しているか（連続かどうか）を確認すると、計算ミスの発見に役立つ。

答え

(1)

$$S(a) = \begin{cases} -\frac{1}{2}a + \frac{1}{3} & (a < 0) \\ \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{3} & (0 \leqq a \leqq 1) \\ \frac{1}{2}a - \frac{1}{3} & (a > 1) \end{cases}$$

(2)

最小値は $\frac{2-\sqrt{2}}{6}$