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数学2 定積分問題 3 解説

方針・初手

「任意の2次関数 $g(x)$ について成り立つ」という条件の扱い方がポイントである。$g(x) = px^2 + qx + r$ とおき、これが $p \neq 0$ となる任意の $p$ および任意の実数 $q, r$ について成り立つ条件を考える。結果として、$g(x) = x^2, x, 1$ のそれぞれに対して $f(x)$ との積の定積分が $0$ になることが必要十分条件となる。

解法1

任意の2次関数 $g(x)$ は、実数 $p, q, r$ ($p \neq 0$) を用いて $g(x) = px^2 + qx + r$ と表せる。これを条件式に代入すると、

$$\int_0^1 f(x) (px^2 + qx + r) dx = 0$$

積分は線形性を持つので、次のように分解できる。

$$p \int_0^1 x^2 f(x) dx + q \int_0^1 x f(x) dx + r \int_0^1 f(x) dx = 0$$

これが $p \neq 0$ である任意の $p$ と、任意の実数 $q, r$ について成り立つための必要十分条件は、各係数がすべて $0$ になることである。すなわち、

$$\begin{cases} \int_0^1 f(x) dx = 0 \\ \int_0^1 x f(x) dx = 0 \\ \int_0^1 x^2 f(x) dx = 0 \end{cases}$$

それぞれについて定積分を計算する。$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ であるから、

$$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (x^3 + ax^2 + bx + c) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_0^1 = \frac{1}{4} + \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c$$

$$\int_0^1 x f(x) dx = \int_0^1 (x^4 + ax^3 + bx^2 + cx) dx = \left[ \frac{1}{5}x^5 + \frac{a}{4}x^4 + \frac{b}{3}x^3 + \frac{c}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{5} + \frac{a}{4} + \frac{b}{3} + \frac{c}{2}$$

$$\int_0^1 x^2 f(x) dx = \int_0^1 (x^5 + ax^4 + bx^3 + cx^2) dx = \left[ \frac{1}{6}x^6 + \frac{a}{5}x^5 + \frac{b}{4}x^4 + \frac{c}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{6} + \frac{a}{5} + \frac{b}{4} + \frac{c}{3}$$

これらがすべて $0$ となるので、次の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = -\frac{1}{4} \quad \cdots \text{(1)} \\ \frac{a}{4} + \frac{b}{3} + \frac{c}{2} = -\frac{1}{5} \quad \cdots \text{(2)} \\ \frac{a}{5} + \frac{b}{4} + \frac{c}{3} = -\frac{1}{6} \quad \cdots \text{(3)} \end{cases}$$

式(1)の両辺に $12$ を、式(2)の両辺に $60$ を、式(3)の両辺に $60$ を掛けて分母を払う。

$$\begin{cases} 4a + 6b + 12c = -3 \quad \cdots \text{(1)'} \\ 15a + 20b + 30c = -12 \quad \cdots \text{(2)'} \\ 12a + 15b + 20c = -10 \quad \cdots \text{(3)'} \end{cases}$$

(2)' $\times 2$ から (3)' $\times 3$ を引いて $c$ を消去する。

$$30a + 40b - (36a + 45b) = -24 - (-30)$$

$$-6a - 5b = 6 \iff 6a + 5b = -6 \quad \cdots \text{(4)}$$

次に (1)' $\times 5$ から (2)' $\times 2$ を引いて $c$ を消去する。

$$20a + 30b - (30a + 40b) = -15 - (-24)$$

$$-10a - 10b = 9 \iff 10a + 10b = -9 \quad \cdots \text{(5)}$$

(5) より $a + b = -\frac{9}{10}$ であるから、$b = -\frac{9}{10} - a$。これを (4) に代入する。

$$6a + 5 \left( -\frac{9}{10} - a \right) = -6$$

$$a - \frac{9}{2} = -6 \iff a = -6 + \frac{9}{2} = -\frac{3}{2}$$

これにより、$b$ の値が定まる。

$$b = -\frac{9}{10} - \left( -\frac{3}{2} \right) = -\frac{9}{10} + \frac{15}{10} = \frac{3}{5}$$

求めた $a, b$ を (1)' に代入して $c$ を求める。

$$4 \left( -\frac{3}{2} \right) + 6 \left( \frac{3}{5} \right) + 12c = -3$$

$$-6 + \frac{18}{5} + 12c = -3 \iff 12c = 3 - \frac{18}{5} = -\frac{3}{5}$$

$$c = -\frac{3}{5} \times \frac{1}{12} = -\frac{1}{20}$$

解法2

「関数 $f(x)$ が $2$ 次以下の任意の多項式と区間 $[0, 1]$ 上の積分で直交する」という条件であるため、$f(x)$ は区間 $[0, 1]$ 上の直交多項式系において、$3$ 次の直交多項式の実数倍となる。

区間 $[-1, 1]$ 上のルジャンドル多項式系のうち、$3$ 次の多項式は

$$P_3(t) = \frac{1}{2}(5t^3 - 3t)$$

で与えられ、これは任意の $2$ 次以下の多項式 $Q(t)$ に対して $\int_{-1}^1 P_3(t)Q(t)dt = 0$ を満たす。積分区間を $[0, 1]$ に移すため、$t = 2x - 1$ と変数変換を行う。$x$ が $0$ から $1$ まで動くとき、$t$ は $-1$ から $1$ まで動く。

条件を満たす $3$ 次多項式 $f(x)$ は、$P_3(2x-1)$ に定数 $k$ を掛けたものとして表される。

$$f(x) = k P_3(2x-1) = \frac{k}{2} \{ 5(2x-1)^3 - 3(2x-1) \}$$

展開して整理する。

$$f(x) = \frac{k}{2} \{ 5(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1) - 6x + 3 \}$$

$$f(x) = \frac{k}{2} ( 40x^3 - 60x^2 + 24x - 2 ) = 20k \left( x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{5}x - \frac{1}{20} \right)$$

問題より、$f(x)$ の $x^3$ の係数は $1$ であるから $20k = 1$ となり、直ちに係数を得る。

$$f(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{5}x - \frac{1}{20}$$

これと $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ の各項の係数を比較する。

$$a = -\frac{3}{2}, \quad b = \frac{3}{5}, \quad c = -\frac{1}{20}$$

解説

「任意の $p$ について $pA + B = 0 \iff A=0$ かつ $B=0$」という恒等式の考え方を定積分に応用する典型問題である。「任意の $2$ 次関数」という言葉を式としてどう表現し、処理するかが問われている。定積分を計算したあとは単純な $3$ 元連立 $1$ 次方程式になるため、計算ミスに気をつければ確実に正解できる。

解法2に示した直交多項式（ルジャンドル多項式）を用いた解法は、大学数学の範囲に足を踏み入れるが、背景知識として知っていると計算量を大幅に削減できる。検算用としても非常に強力な知識である。