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数学2 定積分問題 5 解説

方針・初手

定積分 $\int_0^1 |f(t)| dt$ の積分区間は定数であるから、この定積分の値は定数となる。そこで、この部分を定数 $k$ とおくことで $f(x)$ を $x$ と $k$ の式で表すことができる。与えられた方程式に $f(x)$ の式を代入し、$k$ についての方程式を立てる。その際、被積分関数に絶対値が含まれているため、区間 $0 \leqq t \leqq 1$ における $f(t)$ の符号変化に注意して場合分けを行う。

解法1

定積分の値は定数であるから、

$$k = \int_0^1 |f(t)| dt \quad (k \geqq 0)$$

とおく。これを与式に代入すると、

$$f(x) = x^3 - 4kx$$

となる。これを $k$ の定義式に代入すると、

$$k = \int_0^1 |t^3 - 4kt| dt = \int_0^1 |t(t^2 - 4k)| dt$$

となる。積分区間 $0 \leqq t \leqq 1$ において $t \geqq 0$ であるから、$t^2 - 4k$ の符号によって絶対値の外れ方が変わる。$t^2 - 4k = 0$ となる $t \geqq 0$ は $t = 2\sqrt{k}$ であるため、この値が積分区間 $0 \leqq t \leqq 1$ に含まれるかどうかで場合分けを行う。

(i) $2\sqrt{k} \geqq 1$ のとき（すなわち $k \geqq \frac{1}{4}$ のとき）

区間 $0 \leqq t \leqq 1$ において $t^2 - 4k \leqq 1 - 4k \leqq 0$ であるから、$t(t^2 - 4k) \leqq 0$ となる。よって、絶対値を外すと、

$$k = \int_0^1 -(t^3 - 4kt) dt$$

となる。これを計算すると、

$$\begin{aligned} k &= \left[ -\frac{1}{4}t^4 + 2kt^2 \right]_0^1 \\ &= -\frac{1}{4} + 2k \end{aligned}$$

となる。これを解いて $k = \frac{1}{4}$ を得る。これは条件 $k \geqq \frac{1}{4}$ を満たす。

(ii) $0 \leqq 2\sqrt{k} < 1$ のとき（すなわち $0 \leqq k < \frac{1}{4}$ のとき）

区間 $0 \leqq t \leqq 2\sqrt{k}$ では $t^2 - 4k \leqq 0$、区間 $2\sqrt{k} \leqq t \leqq 1$ では $t^2 - 4k \geqq 0$ となる。積分区間を分割して絶対値を外すと、

$$k = \int_0^{2\sqrt{k}} -(t^3 - 4kt) dt + \int_{2\sqrt{k}}^1 (t^3 - 4kt) dt$$

となる。それぞれの定積分を計算すると、

$$\begin{aligned} \int_0^{2\sqrt{k}} -(t^3 - 4kt) dt &= \left[ -\frac{1}{4}t^4 + 2kt^2 \right]_0^{2\sqrt{k}} \\ &= -\frac{1}{4}(16k^2) + 2k(4k) \\ &= 4k^2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_{2\sqrt{k}}^1 (t^3 - 4kt) dt &= \left[ \frac{1}{4}t^4 - 2kt^2 \right]_{2\sqrt{k}}^1 \\ &= \left( \frac{1}{4} - 2k \right) - \left\{ \frac{1}{4}(16k^2) - 2k(4k) \right\} \\ &= \frac{1}{4} - 2k - (-4k^2) \\ &= 4k^2 - 2k + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

となる。これらを足し合わせて、

$$k = 4k^2 + \left( 4k^2 - 2k + \frac{1}{4} \right) = 8k^2 - 2k + \frac{1}{4}$$

となる。整理すると、

$$8k^2 - 3k + \frac{1}{4} = 0$$

$$32k^2 - 12k + 1 = 0$$

$$(8k - 1)(4k - 1) = 0$$

となる。これを解くと $k = \frac{1}{8}, \frac{1}{4}$ となるが、条件 $0 \leqq k < \frac{1}{4}$ より $k = \frac{1}{8}$ となる。

(i), (ii) より、$k = \frac{1}{8}, \frac{1}{4}$ である。

それぞれの場合について $f(x)$ の極大値を求める。

(ア) $k = \frac{1}{8}$ のとき

$$f(x) = x^3 - \frac{1}{2}x$$

微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 - \frac{1}{2}$$

となる。$f'(x) = 0$ とすると $x = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ となる。$x = -\frac{1}{\sqrt{6}}$ の前後で $f'(x)$ の符号が正から負に変わるため、ここで極大値をとる。

$$\begin{aligned} f\left( -\frac{1}{\sqrt{6}} \right) &= \left( -\frac{1}{\sqrt{6}} \right)^3 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{6}} \right) \\ &= -\frac{1}{6\sqrt{6}} + \frac{3}{6\sqrt{6}} \\ &= \frac{2}{6\sqrt{6}} \\ &= \frac{\sqrt{6}}{18} \end{aligned}$$

(イ) $k = \frac{1}{4}$ のとき

$$f(x) = x^3 - x$$

微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 - 1$$

となる。$f'(x) = 0$ とすると $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ となる。$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ の前後で $f'(x)$ の符号が正から負に変わるため、ここで極大値をとる。

$$\begin{aligned} f\left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) &= \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3 - \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) \\ &= -\frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{3}{3\sqrt{3}} \\ &= \frac{2}{3\sqrt{3}} \\ &= \frac{2\sqrt{3}}{9} \end{aligned}$$

以上より、極大値は $\frac{\sqrt{6}}{18}$ および $\frac{2\sqrt{3}}{9}$ である。

解説

定積分を含む方程式のうち、積分区間に変数が含まれないものは、定積分全体を定数としておくのが定石である。本問では絶対値が含まれているため、被積分関数の符号変化に注意して積分区間を分ける必要がある。定数 $k$ の満たすべき条件（$k \geqq 0$ や場合分けの条件）を忘れずに確認することが重要である。また、極大値を求める計算では、導関数が $0$ になる点のうちどちらが極大になるかの判定を正確に行うことが求められる。