数学2 定積分 問題 6 解説

方針・初手

求める関数 $f(x)$ は2次関数であるため、$f(x) = ax^2 + bx + c$ と文字でおいて条件式に代入し、未定係数を求める方針をとる。

与えられた3つの条件、$f(2) = 26$、$f'(2) = 18$、$\int_{-1}^1 f(x) dx = 6$ から、係数 $a, b, c$ に関する連立方程式を立てて解く。

解法1

$f(x)$ は2次関数であるから、$a, b, c$ を定数とし、$a \neq 0$ として次のように表すことができる。

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

このとき、導関数 $f'(x)$ は次のようになる。

$$f'(x) = 2ax + b$$

与えられた条件 $f(2) = 26$ より、次の式が成り立つ。

$$4a + 2b + c = 26 \quad \cdots \text{(1)}$$

次に、条件 $f'(2) = 18$ より、次の式が成り立つ。

$$4a + b = 18 \quad \cdots \text{(2)}$$

さらに、条件 $\int_{-1}^1 f(x) dx = 6$ について計算する。積分区間が $-1$ から $1$ まで対称であるため、奇数次の項の定積分が $0$ になる性質を利用する。

$$\begin{aligned} \int_{-1}^1 (ax^2 + bx + c) dx &= 2 \int_0^1 (ax^2 + c) dx \\ &= 2 \left[ \frac{a}{3}x^3 + cx \right]_0^1 \\ &= 2 \left( \frac{a}{3} + c \right) \end{aligned}$$

これが $6$ に等しいので、次の式が成り立つ。

$$2 \left( \frac{a}{3} + c \right) = 6$$

整理して、次の式を得る。

$$a + 3c = 9 \quad \cdots \text{(3)}$$

これで3つの文字 $a, b, c$ についての3つの連立方程式が揃った。(1)、(2)、(3) を解く。

(2) より、$b = 18 - 4a$ である。これを (1) に代入する。

$$4a + 2(18 - 4a) + c = 26$$

$$4a + 36 - 8a + c = 26$$

$$-4a + c = -10 \quad \cdots \text{(4)}$$

(3) と (4) を連立させて解く。(4) より $c = 4a - 10$ とし、これを (3) に代入する。

$$a + 3(4a - 10) = 9$$

$$a + 12a - 30 = 9$$

$$13a = 39$$

$$a = 3$$

これは $a \neq 0$ を満たす。

$a = 3$ を (2) に代入して $b$ を求める。

$$12 + b = 18$$

$$b = 6$$

$a = 3$ を (3) に代入して $c$ を求める。

$$3 + 3c = 9$$

$$3c = 6$$

$$c = 2$$

以上より、$a = 3$、$b = 6$、$c = 2$ と求まる。

解説

2次関数を $ax^2 + bx + c$ と設定し、与えられた条件から連立方程式を導く定石通りの問題である。微分と積分の基本計算が正確にできれば迷うところはない。

特に定積分の計算において、積分区間が $[-1, 1]$ と原点について対称であることに着目し、$\int_{-a}^a x^{\text{奇数}} dx = 0$ および $\int_{-a}^a x^{\text{偶数}} dx = 2 \int_0^a x^{\text{偶数}} dx$ という偶関数・奇関数の性質を利用することで、計算の手間を省き計算ミスを減らすことができる。

答え

$f(x) = 3x^2 + 6x + 2$