数学2 定積分 問題 8 解説

方針・初手

定積分 $\int_0^a \{f(t+1) - f(t)\}dt$ は、積分区間の上端・下端が定数であり、被積分関数にも積分変数以外の変数が含まれていないため、定数となる。そこで、この定積分を $k$ などの文字でおくことから始める。これにより $f(x)$ を $k$ を用いた二次関数として表すことができ、与えられたもう一つの条件式 $\int_0^1 f(t)dt = -\frac{5}{6}$ を用いて $k$ の値を決定できる。

解法1

(1)

定積分 $\int_0^a \{f(t+1) - f(t)\}dt$ は定数であるから、これを $k$ とおく。

$$k = \int_0^a \{f(t+1) - f(t)\}dt$$

このとき、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = kx^2 + x - 2$$

条件より $\int_0^1 f(t)dt = -\frac{5}{6}$ であるから、

$$\begin{aligned} \int_0^1 (kt^2 + t - 2) dt &= \left[ \frac{k}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - 2t \right]_0^1 \\ &= \frac{k}{3} + \frac{1}{2} - 2 \\ &= \frac{k}{3} - \frac{3}{2} \end{aligned}$$

これが $-\frac{5}{6}$ に等しいので、

$$\begin{aligned} \frac{k}{3} - \frac{3}{2} &= -\frac{5}{6} \\ \frac{k}{3} &= \frac{3}{2} - \frac{5}{6} \\ \frac{k}{3} &= \frac{9}{6} - \frac{5}{6} \\ \frac{k}{3} &= \frac{4}{6} \\ \frac{k}{3} &= \frac{2}{3} \\ k &= 2 \end{aligned}$$

よって、$\int_0^a \{f(t+1) - f(t)\}dt = 2$ である。

(2)

(1)の結果より、$f(x) = 2x^2 + x - 2$ である。これを用いて、被積分関数 $f(t+1) - f(t)$ を計算する。

$$\begin{aligned} f(t+1) - f(t) &= \{2(t+1)^2 + (t+1) - 2\} - (2t^2 + t - 2) \\ &= (2t^2 + 4t + 2 + t - 1) - (2t^2 + t - 2) \\ &= (2t^2 + 5t + 1) - (2t^2 + t - 2) \\ &= 4t + 3 \end{aligned}$$

したがって、(1)でおいた定積分の値について以下が成り立つ。

$$\begin{aligned} \int_0^a \{f(t+1) - f(t)\}dt &= \int_0^a (4t + 3) dt \\ &= \left[ 2t^2 + 3t \right]_0^a \\ &= 2a^2 + 3a \end{aligned}$$

(1)より、この値が $2$ であるから、

$$\begin{aligned} 2a^2 + 3a &= 2 \\ 2a^2 + 3a - 2 &= 0 \\ (a + 2)(2a - 1) &= 0 \end{aligned}$$

これより、$a = -2, \frac{1}{2}$ である。

(3)

関数 $F(x) = \int_0^x f(t)dt$ を $x$ について微分すると、微積分学の基本定理より $F'(x) = f(x)$ となる。

求める極限は、関数 $F(x)$ の $x=3$ における微分係数 $F'(3)$ の定義式そのものであるから、

$$\lim_{h \to 0} \frac{F(3+h) - F(3)}{h} = F'(3) = f(3)$$

(1)より $f(x) = 2x^2 + x - 2$ であるから、

$$\begin{aligned} f(3) &= 2 \cdot 3^2 + 3 - 2 \\ &= 18 + 3 - 2 \\ &= 19 \end{aligned}$$

よって、求める値は $19$ である。

解説

積分方程式と微積分学の基本定理に関する標準的な問題である。 (1)では、積分区間が定数のみからなる定積分を一つの定数としておくという典型的な解法が問われている。 (3)では、極限の式が微分の定義式であることに気づけるかがポイントとなる。極限をそのまま計算しようとすると手間がかかるが、定義式であることを利用すれば $f(3)$ を計算するだけで済む。

答え

(1) $2$

(2) $a = -2, \frac{1}{2}$

(3) $19$