数学2 定積分 問題 11 解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数を扱うため、まずは絶対値記号の中の式 $x(x-a)$ の符号が切り替わる境界を把握する。

(1) では、関数の定義から絶対値を外し、グラフの概形を捉える。

(2) では、積分区間 $[0, 1]$ において、(1) で調べた符号の切り替わりを利用して積分区間を分割し、絶対値を外して定積分を計算する。

(3) では、得られた $f(a)$ を $a$ の関数とみなし、微分を用いて増減を調べ、最小値を求める。

解法1

(1)

$x(x-a) = 0$ とすると、$x = 0, a$ である。

$0 < a < 1$ であるから、絶対値記号を外すと以下のようになる。

$$y = \begin{cases} x(x-a) & (x \le 0, \ a \le x) \\ -x(x-a) & (0 < x < a) \end{cases}$$

したがって、求めるグラフは、放物線 $y = x(x-a)$ の $x$ 軸より下にある部分（$0 < x < a$ の範囲）を $x$ 軸に関して対称に折り返したものである。

頂点について、$0 < x < a$ における放物線 $y = -x^2 + ax$ は、平方完成すると以下のようになる。

$$y = -\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \frac{a^2}{4}$$

よって、$0 < x < a$ における上に凸の放物線部分の頂点は $\left(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4}\right)$ となる。

以上より、グラフは $x$ 軸との交点が $(0, 0)$ および $(a, 0)$ であり、$0 \le x \le a$ の範囲では上に凸の放物線弧（頂点は $\left(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4}\right)$）、それ以外の $x \le 0$ および $x \ge a$ の範囲では下に凸の放物線となる。

(2)

$f(a) = \int_0^1 |x(x-a)| dx$ について、$0 < a < 1$ より、積分区間 $[0, 1]$ は $0 \le x \le a$ と $a \le x \le 1$ に分割できる。

(1) の結果より、$0 \le x \le a$ では $|x(x-a)| = -x(x-a)$、$a \le x \le 1$ では $|x(x-a)| = x(x-a)$ であるから、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} f(a) &= \int_0^a \{-x(x-a)\} dx + \int_a^1 x(x-a) dx \\ &= -\int_0^a (x^2 - ax) dx + \int_a^1 (x^2 - ax) dx \\ &= -\left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 \right]_0^a + \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 \right]_a^1 \\ &= -\left( \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 \right) + \left\{ \left(\frac{1}{3} - \frac{a}{2}\right) - \left(\frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3\right) \right\} \\ &= -\left(-\frac{1}{6}a^3\right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{a}{2} + \frac{1}{6}a^3 \right) \\ &= \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{3} \end{aligned}$$

(3)

(2) より、$f(a) = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{3}$ である。

$a$ について微分すると、以下のようになる。

$$f'(a) = a^2 - \frac{1}{2}$$

$f'(a) = 0$ とすると、$a^2 = \frac{1}{2}$ となり、$0 < a < 1$ より $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ である。

$0 < a < 1$ における $f(a)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccc} a & (0) & \cdots & \frac{1}{\sqrt{2}} & \cdots & (1) \\ \hline f'(a) & & - & 0 & + & \\ \hline f(a) & & \searrow & \text{極小} & \nearrow & \end{array}$$

増減表より、$f(a)$ は $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、最小値をとる。

このとき、最小値は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) &= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{3}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3} \\ &= -\frac{2}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3} \\ &= -\frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2}{6} \\ &= \frac{2 - \sqrt{2}}{6} \end{aligned}$$

解説

絶対値を含む関数の定積分と、関数の最小値を求める標準的な問題である。

(2) の定積分の計算において、$0$ から $a$ までの定積分は $\frac{1}{6}$ 公式、すなわち $\int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ を用いると計算量を減らすことができる。具体的には、$-\int_0^a x(x-a) dx = \frac{1}{6}(a-0)^3 = \frac{a^3}{6}$ とすぐに求めることが可能である。

(3) は基本的な3次関数の最小値問題であり、増減表を適切に作成し、定義域に注意して極小値が最小値であることを確認する手順が重要である。

答え

(1) $x$ 軸との交点が $(0, 0), (a, 0)$ であり、$0 \le x \le a$ の範囲では頂点が $\left(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{4}\right)$ の上に凸の放物線、$x < 0$ および $a < x$ の範囲では下に凸の放物線となるグラフ。

(2) $f(a) = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{3}$

(3) $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、最小値 $\frac{2 - \sqrt{2}}{6}$