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数学2 定積分問題 12 解説

方針・初手

$f(x)$ に含まれる絶対値を定義に従って外し、関数の形を明確にする。次に、$f(1-x)$ と $f(1+x)$ のそれぞれについて、中身の符号によって場合分けを行い、$g(x)$ の式を求める。求めた $g(x)$ に基づいてグラフを描き、積分区間に注意して定積分を計算する。

解法1

(1) $f(x) = \frac{x+|x|}{2}$ について、絶対値の定義より、

$x \ge 0$ のとき、$|x| = x$ であるから、$f(x) = \frac{x+x}{2} = x$

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$ であるから、$f(x) = \frac{x-x}{2} = 0$

すなわち、

$$f(x) = \begin{cases} x & (x \ge 0) \\ 0 & (x < 0) \end{cases}$$

である。

$g(x) = f(1-x) f(1+x)$ について、$1-x$ と $1+x$ の符号によって場合分けを行う。

(i) $x < -1$ のとき $1-x > 0$、$1+x < 0$ であるから、$f(1-x) = 1-x$、$f(1+x) = 0$ となる。よって、$g(x) = (1-x) \cdot 0 = 0$ である。

(ii) $-1 \le x \le 1$ のとき $1-x \ge 0$、$1+x \ge 0$ であるから、$f(1-x) = 1-x$、$f(1+x) = 1+x$ となる。よって、$g(x) = (1-x)(1+x) = 1-x^2$ である。

(iii) $x > 1$ のとき $1-x < 0$、$1+x > 0$ であるから、$f(1-x) = 0$、$f(1+x) = 1+x$ となる。よって、$g(x) = 0 \cdot (1+x) = 0$ である。

以上より、

$$g(x) = \begin{cases} 1-x^2 & (-1 \le x \le 1) \\ 0 & (x < -1, \, 1 < x) \end{cases}$$

となる。したがって、$y = g(x)$ のグラフは、放物線 $y = 1-x^2$ の $-1 \le x \le 1$ の部分と、$x < -1$ および $x > 1$ における $x$ 軸を合わせたものになる。

(2) (1) で求めた $g(x)$ を用いて定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_{-2}^2 g(x) dx &= \int_{-2}^{-1} 0 \, dx + \int_{-1}^1 (1-x^2) dx + \int_{1}^2 0 \, dx \\ &= \int_{-1}^1 (1-x^2) dx \end{aligned}$$

被積分関数 $1-x^2$ は偶関数であるから、

$$\begin{aligned} \int_{-1}^1 (1-x^2) dx &= 2 \int_{0}^1 (1-x^2) dx \\ &= 2 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 \\ &= 2 \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}$$

解説

絶対値を含む関数の処理が問われる標準的な問題である。まずは定義に従って絶対値を外し、$f(x)$ がどのような関数かを把握することが重要である。その後、$g(x)$ を構成する $f(1-x)$ と $f(1+x)$ のそれぞれが $0$ になるかそのまま値を持つかの境界となる $x=-1$ と $x=1$ に着目して場合分けを行う。

定積分の計算においては、積分区間に $g(x) = 0$ となる部分が含まれるため、区間を分割して計算する。$-1 \le x \le 1$ の区間における定積分は、偶関数の性質を利用することで計算量を減らすことができる。また、いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式を用いて $\int_{-1}^1 (1-x^2) dx = - \int_{-1}^1 (x-1)(x+1) dx = \frac{1}{6} \{1 - (-1)\}^3 = \frac{4}{3}$ と計算してもよい。