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数学2 定積分問題 13 解説

方針・初手

定積分で表された関数の最小値を求める問題である。関数 $f(x)$ を $x$ で微分して $f'(x)$ を求め、増減表を作成して最小値を特定する。その際、被積分関数に絶対値が含まれているため、微分後の式に現れる絶対値を丁寧に場合分けして外すことがポイントになる。

解法1

$$f(x) = \int_{x-2}^{x+2} |y(y-5)| dy$$

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$\begin{aligned} f'(x) &= |(x+2)\{(x+2)-5\}| - |(x-2)\{(x-2)-5\}| \\ &= |(x+2)(x-3)| - |(x-2)(x-7)| \end{aligned}$$

となる。$x \geqq 2$ の範囲において $f'(x)$ の符号を調べるため、絶対値の中身の正負で場合分けを行う。 $x \geqq 2$ のとき、$x+2 > 0$ および $x-2 \geqq 0$ であるから、$(x+2)(x-3)$ の符号は $x=3$ で、$(x-2)(x-7)$ の符号は $x=7$ で変化する。

(i) $2 \leqq x \leqq 3$ のとき

$(x+2)(x-3) \leqq 0$ かつ $(x-2)(x-7) \leqq 0$ であるから、

$$\begin{aligned} f'(x) &= -(x+2)(x-3) - \{ -(x-2)(x-7) \} \\ &= -(x^2 - x - 6) + (x^2 - 9x + 14) \\ &= -8x + 20 \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると $x = \frac{5}{2}$ となり、これは $2 \leqq x \leqq 3$ を満たす。

(ii) $3 < x \leqq 7$ のとき

$(x+2)(x-3) > 0$ かつ $(x-2)(x-7) \leqq 0$ であるから、

$$\begin{aligned} f'(x) &= (x+2)(x-3) - \{ -(x-2)(x-7) \} \\ &= (x^2 - x - 6) + (x^2 - 9x + 14) \\ &= 2x^2 - 10x + 8 \\ &= 2(x-1)(x-4) \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると $x = 1, 4$ となり、$3 < x \leqq 7$ を満たすのは $x = 4$ である。

(iii) $x > 7$ のとき

$(x+2)(x-3) > 0$ かつ $(x-2)(x-7) > 0$ であるから、

$$\begin{aligned} f'(x) &= (x+2)(x-3) - (x-2)(x-7) \\ &= (x^2 - x - 6) - (x^2 - 9x + 14) \\ &= 8x - 20 \end{aligned}$$

$x > 7$ のとき、$8x - 20 > 8 \times 7 - 20 = 36 > 0$ より $f'(x) > 0$ である。

以上の結果から、$x \geqq 2$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$2$	$\cdots$	$\frac{5}{2}$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(x)$ の最小値の候補は $f(2)$ または $f(4)$ である。それぞれについて定積分の値を計算する。

$x=2$ のとき、積分区間は $0 \leqq y \leqq 4$ であり、この範囲で $y(y-5) \leqq 0$ であるから、

$$\begin{aligned} f(2) &= \int_{0}^{4} |y(y-5)| dy \\ &= \int_{0}^{4} (-y^2 + 5y) dy \\ &= \left[ -\frac{1}{3}y^3 + \frac{5}{2}y^2 \right]_{0}^{4} \\ &= -\frac{64}{3} + 40 \\ &= \frac{56}{3} \end{aligned}$$

$x=4$ のとき、積分区間は $2 \leqq y \leqq 6$ である。$2 \leqq y \leqq 5$ で $y(y-5) \leqq 0$、$5 \leqq y \leqq 6$ で $y(y-5) \geqq 0$ であるから、区間を分割して計算する。

$$\begin{aligned} f(4) &= \int_{2}^{6} |y(y-5)| dy \\ &= \int_{2}^{5} (-y^2 + 5y) dy + \int_{5}^{6} (y^2 - 5y) dy \\ &= \left[ -\frac{1}{3}y^3 + \frac{5}{2}y^2 \right]_{2}^{5} + \left[ \frac{1}{3}y^3 - \frac{5}{2}y^2 \right]_{5}^{6} \\ &= \left( -\frac{125}{3} + \frac{125}{2} \right) - \left( -\frac{8}{3} + 10 \right) + \left( \frac{216}{3} - 90 \right) - \left( \frac{125}{3} - \frac{125}{2} \right) \\ &= \frac{125}{6} - \frac{22}{3} - 18 + \frac{125}{6} \\ &= \frac{125}{3} - \frac{76}{3} \\ &= \frac{49}{3} \end{aligned}$$

$f(2) = \frac{56}{3}$ と $f(4) = \frac{49}{3}$ を比較すると、$f(4) < f(2)$ である。

したがって、$f(x)$ は $x=4$ のとき最小値 $\frac{49}{3}$ をとる。

解説

定積分で表された関数の最大・最小問題における典型的な解法である「導関数を求めて増減を調べる」方針が有効である。被積分関数に絶対値がついているため、$f(x)$ を直接積分して $x$ の式で表そうとすると、積分区間と $y=5$ の大小関係で場合分けが発生し、計算が非常に煩雑になる。

積分方程式の微分の基本公式 $\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} g(y) dy = g(b(x))b'(x) - g(a(x))a'(x)$ を用いることで、$f'(x)$ の計算を簡略化できる。増減表を作成した後は、最小値の候補となる極小値と定義域の端点の値を両方計算し、大小を比較することを忘れないようにしたい。