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数学2 定積分問題 14 解説

方針・初手

与えられた等式に含まれる定積分 $\int_0^1 f(t) dt$ は定数である。したがって、これを文字定数でおくことで $f(x)$ の形を決定する。これが本問を解くための第一歩となる。その後、決定した $f(x)$ を用いて積分を計算し、条件に合わせて関数の性質を調べる。

解法1

(1)

等式

$$f(x) = x^2 + \frac{x}{2} \int_0^1 f(t) dt + k$$

において、$\int_0^1 f(t) dt$ は定数であるから、これを $C$ とおく。

$$C = \int_0^1 f(t) dt$$

すると、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = x^2 + \frac{C}{2} x + k$$

これを $C$ の定義式に代入する。

$$\begin{aligned} C &= \int_0^1 \left( t^2 + \frac{C}{2} t + k \right) dt \\ &= \left[ \frac{1}{3} t^3 + \frac{C}{4} t^2 + k t \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} + \frac{C}{4} + k \end{aligned}$$

この方程式を $C$ について解く。

$$\begin{aligned} C - \frac{C}{4} &= \frac{1}{3} + k \\ \frac{3}{4} C &= \frac{1}{3} + k \\ C &= \frac{4}{9} + \frac{4}{3} k \end{aligned}$$

したがって、求める定積分は以下のようになる。

$$\int_0^1 f(t) dt = \frac{4}{9} + \frac{4}{3} k$$

(2)

(1) の結果より、$f(x)$ は次のように定まる。

$$\begin{aligned} f(x) &= x^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{4}{9} + \frac{4}{3} k \right) x + k \\ &= x^2 + \left( \frac{2}{9} + \frac{2}{3} k \right) x + k \end{aligned}$$

よって、$g(x)$ を計算する。

$$\begin{aligned} g(x) &= \int_0^x f(t) dt \\ &= \int_0^x \left\{ t^2 + \left( \frac{2}{9} + \frac{2}{3} k \right) t + k \right\} dt \\ &= \left[ \frac{1}{3} t^3 + \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{3} k \right) t^2 + k t \right]_0^x \\ &= \frac{1}{3} x^3 + \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{3} k \right) x^2 + k x \end{aligned}$$

(3)

関数 $h(x)$ を求める。

$$\begin{aligned} h(x) &= g(x) + \frac{1}{3} x \\ &= \frac{1}{3} x^3 + \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{3} k \right) x^2 + \left( k + \frac{1}{3} \right) x \end{aligned}$$

関数 $h(x)$ が常に単調に増加するための条件は、すべての実数 $x$ に対して導関数 $h'(x) \geqq 0$ が成り立つことである。

$$h'(x) = x^2 + \left( \frac{2}{9} + \frac{2}{3} k \right) x + k + \frac{1}{3}$$

$x$ についての2次方程式 $h'(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると、常に $h'(x) \geqq 0$ となる条件は $D \leqq 0$ である。

$$\begin{aligned} \frac{D}{4} &= \left( \frac{1}{9} + \frac{1}{3} k \right)^2 - \left( k + \frac{1}{3} \right) \leqq 0 \\ \frac{1}{81} + \frac{2}{27} k + \frac{1}{9} k^2 - k - \frac{1}{3} &\leqq 0 \end{aligned}$$

両辺に $81$ を掛けて整理する。

$$\begin{aligned} 1 + 6k + 9k^2 - 81k - 27 &\leqq 0 \\ 9k^2 - 75k - 26 &\leqq 0 \\ (3k + 1)(3k - 26) &\leqq 0 \end{aligned}$$

これを解いて、$k$ の値の範囲を求める。

$$-\frac{1}{3} \leqq k \leqq \frac{26}{3}$$

解説

定積分を含む方程式の典型問題である。積分区間が定数から定数であるため、積分部分全体を一つの定数としておく手法が基本となる。(1) で関数 $f(x)$ の形を決定し、(2) でそれを積分して $g(x)$ を求めるという誘導に乗れば、自然に解答を進めることができる。(3) は、3次関数が常に単調増加する条件を考える問題である。導関数 $h'(x) \geqq 0$ が常に成り立つ条件を、2次関数の判別式 $D \leqq 0$ に帰着させる処理は頻出である。このとき、極値をもたない（単調に増加する）条件には等号が含まれることに注意が必要である。