数学2 定積分 問題 15 解説

方針・初手

$f(t)$ が $t$ の値によって異なる式で定義されているため、定積分 $g(x) = \int_{x-1}^{x} f(t) dt$ を計算する際は、積分区間 $[x-1, x]$ と $f(t)$ の定義が切り替わる境界である $t=0, 1$ との位置関係に注意する。(2)で丁寧に場合分けの範囲が指定されているので、それに従って被積分関数 $f(t)$ を決定し、必要であれば積分区間を分割して計算を実行する。

解法1

(1)

与えられた $f(x)$ の定義より、$y=f(x)$ のグラフは以下のようになる。

$x < 0$ の範囲では $y=0$ （$x$ 軸上の半直線） $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲では $y=x$ （原点 $(0,0)$ と点 $(1,1)$ を結ぶ線分） $x > 1$ の範囲では $y=1$ （$x$ 軸に平行な半直線）

これらをつなぎ合わせたものが求めるグラフである。

(2)

$g(x) = \int_{x-1}^{x} f(t) dt$ について、指定された4つの場合で計算する。

[1] $x \leqq 0$ のとき

積分区間 $x-1 \leqq t \leqq x$ において、$t \leqq 0$ であるから常に $f(t) = 0$ となる。

$$g(x) = \int_{x-1}^{x} 0 dt = 0$$

[2] $0 < x \leqq 1$ のとき

$-1 < x-1 \leqq 0$ かつ $0 < x \leqq 1$ であるから、積分区間 $[x-1, x]$ は $t=0$ をまたぐ。 したがって、積分区間を $t=0$ で分割する。 $x-1 \leqq t \leqq 0$ のとき $f(t) = 0$ $0 \leqq t \leqq x$ のとき $f(t) = t$

$$\begin{aligned} g(x) &= \int_{x-1}^{0} 0 dt + \int_{0}^{x} t dt \\ &= 0 + \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_{0}^{x} \\ &= \frac{1}{2}x^2 \end{aligned}$$

[3] $1 < x \leqq 2$ のとき

$0 < x-1 \leqq 1$ かつ $1 < x \leqq 2$ であるから、積分区間 $[x-1, x]$ は $t=1$ をまたぐ。 したがって、積分区間を $t=1$ で分割する。 $x-1 \leqq t \leqq 1$ のとき $f(t) = t$ $1 \leqq t \leqq x$ のとき $f(t) = 1$

$$\begin{aligned} g(x) &= \int_{x-1}^{1} t dt + \int_{1}^{x} 1 dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_{x-1}^{1} + \left[ t \right]_{1}^{x} \\ &= \frac{1}{2} \left\{ 1^2 - (x-1)^2 \right\} + (x - 1) \\ &= \frac{1}{2} ( -x^2 + 2x ) + x - 1 \\ &= -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1 \end{aligned}$$

[4] $2 < x$ のとき

積分区間 $x-1 \leqq t \leqq x$ において、$1 < x-1 < t$ であるから常に $f(t) = 1$ となる。

$$\begin{aligned} g(x) &= \int_{x-1}^{x} 1 dt \\ &= \left[ t \right]_{x-1}^{x} \\ &= x - (x-1) \\ &= 1 \end{aligned}$$

(3)

(2)の結果をまとめると、以下のようになる。

$$g(x) = \begin{cases} 0 & (x \leqq 0) \\ \frac{1}{2}x^2 & (0 < x \leqq 1) \\ -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1 & (1 < x \leqq 2) \\ 1 & (2 < x) \end{cases}$$

ここで、$1 < x \leqq 2$ における関数は、

$$-\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1 = -\frac{1}{2}(x^2 - 4x) - 1 = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 1$$

と平方完成できるため、頂点が $(2,1)$ で上に凸な放物線の一部である。

各境界点での $g(x)$ の値を調べると、 $x=0$ のとき $0$ $x=1$ のとき $\frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$ $x=2$ のとき $-\frac{1}{2} \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 - 1 = 1$ となり、グラフはすべての区間の境界で連続してつながる。

したがって、$y=g(x)$ のグラフは、 $x \leqq 0$ で $y=0$ の半直線、 $0 < x \leqq 1$ で頂点 $(0,0)$ の下に凸な放物線の一部、 $1 < x \leqq 2$ で頂点 $(2,1)$ の上に凸な放物線の一部、 $x > 2$ で $y=1$ の半直線 をそれぞれ結んだ曲線となる。

解説

関数の定義が区間によって異なる場合の定積分を求める、数学IIの標準的な問題である。被積分関数の形が変わるポイントを積分区間がまたぐ場合は、その境界点で積分を分割して計算するのが鉄則である。 本問では(2)であらかじめ丁寧に場合分けが誘導されているため、それに乗って区間ごとに立式し、落ち着いて計算すればよい。グラフを描く際は、境界での連続性や、放物線の頂点の位置、凹凸を意識して各パーツをつなぎ合わせると、正確な概形を捉えることができる。

答え

(1)

点 $(0,0)$ から $x$ 軸の負の方向へ伸びる半直線、原点 $(0,0)$ と点 $(1,1)$ を結ぶ線分、点 $(1,1)$ から $x$ 軸に平行に右方向へ伸びる半直線を繋いだグラフ。

(2)

[1] $g(x) = 0$

[2] $g(x) = \frac{1}{2}x^2$

[3] $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x - 1$

[4] $g(x) = 1$

(3)

点 $(0,0)$ から $x$ 軸の負の方向へ伸びる半直線、点 $(0,0)$ と点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ を結ぶ下に凸な放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ の一部、点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$ と点 $(2,1)$ を結ぶ上に凸な放物線 $y = -\frac{1}{2}(x-2)^2 + 1$ の一部、点 $(2,1)$ から $x$ 軸に平行に右方向へ伸びる半直線を繋いだグラフ。