数学2 定積分 問題 16 解説

方針・初手

まずは条件 $\int_{-1}^1 f(x) dx = 1$ を計算し、$\alpha$ と $\beta$ の関係式を導く。次に、求めたい定積分 $S$ を計算して $\alpha$ の式で表す。このとき、$0 \leqq \alpha \leqq \beta$ という条件を用いて $\alpha$ のとりうる値の範囲（定義域）を正確に求めることが重要である。最後に、得られた定義域における $S$ の増減を調べ、最大値を求める。

解法1

条件より、次が成り立つ。

$$\int_{-1}^1 (x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta) dx = 1$$

被積分関数のうち、奇数次である $x$ の項の定積分は $0$ となるため、偶関数の性質を利用して計算する。

$$2 \int_0^1 (x^2 + \alpha \beta) dx = 1$$

$$2 \left[ \frac{1}{3}x^3 + \alpha \beta x \right]_0^1 = 1$$

$$2 \left( \frac{1}{3} + \alpha \beta \right) = 1$$

$$\frac{2}{3} + 2\alpha \beta = 1$$

これを整理すると、次の関係式を得る。

$$\alpha \beta = \frac{1}{6}$$

ここで、問題の条件 $0 \leqq \alpha \leqq \beta$ について考える。 もし $\alpha = 0$ であれば $\alpha \beta = 0$ となり、上の式に矛盾する。したがって $\alpha > 0$ である。 $\alpha \beta = \frac{1}{6}$ より $\beta = \frac{1}{6\alpha}$ と表せるので、これを $\alpha \leqq \beta$ に代入する。

$$\alpha \leqq \frac{1}{6\alpha}$$

$\alpha > 0$ であるから、両辺に $\alpha$ を掛けても不等号の向きは変わらない。

$$\alpha^2 \leqq \frac{1}{6}$$

$\alpha > 0$ と合わせて、$\alpha$ のとりうる値の範囲は次のように定まる。

$$0 < \alpha \leqq \frac{1}{\sqrt{6}}$$

次に、定積分 $S$ を計算する。

$$S = \int_0^\alpha (x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta) dx$$

$$S = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{\alpha + \beta}{2}x^2 + \alpha \beta x \right]_0^\alpha$$

$$S = \frac{1}{3}\alpha^3 - \frac{\alpha + \beta}{2}\alpha^2 + \alpha^2 \beta$$

$$S = \frac{1}{3}\alpha^3 - \frac{1}{2}\alpha^3 - \frac{1}{2}\alpha^2 \beta + \alpha^2 \beta$$

$$S = -\frac{1}{6}\alpha^3 + \frac{1}{2}\alpha^2 \beta$$

ここで、$\alpha \beta = \frac{1}{6}$ を用いて $\beta$ を消去する。$\frac{1}{2}\alpha^2 \beta = \frac{1}{2}\alpha(\alpha \beta) = \frac{1}{2}\alpha \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}\alpha$ となるため、$S$ は $\alpha$ の式として次のように表される。

$$S = -\frac{1}{6}\alpha^3 + \frac{1}{12}\alpha$$

この $S$ を $\alpha$ の関数とみなし、増減を調べるために $\alpha$ で微分する。

$$\frac{dS}{d\alpha} = -\frac{1}{2}\alpha^2 + \frac{1}{12}$$

$\frac{dS}{d\alpha} = 0$ とすると、$-\frac{1}{2}\alpha^2 + \frac{1}{12} = 0$ より $\alpha^2 = \frac{1}{6}$ となる。 $0 < \alpha \leqq \frac{1}{\sqrt{6}}$ の範囲において、$\frac{dS}{d\alpha} \geqq 0$ であり、$S$ は単調に増加する。

したがって、$S$ は $\alpha = \frac{1}{\sqrt{6}}$ のときに最大値をとる。その最大値は次のようになる。

$$S = -\frac{1}{6} \left( \frac{1}{\sqrt{6}} \right)^3 + \frac{1}{12} \left( \frac{1}{\sqrt{6}} \right)$$

$$S = -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6\sqrt{6}} + \frac{1}{12\sqrt{6}}$$

$$S = -\frac{1}{36\sqrt{6}} + \frac{3}{36\sqrt{6}}$$

$$S = \frac{2}{36\sqrt{6}}$$

$$S = \frac{1}{18\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{108}$$

解説

与えられた積分方程式から文字間の関係式を導き、目的の関数を1変数の関数に帰着させるという定石問題である。 積分区間が $[-1, 1]$ であることから、偶関数・奇関数の性質（$x$ の奇数次項の積分が $0$ になること）を活用すると計算量が減り、見通しがよくなる。 また、本問で最も注意すべき点は $\alpha$ の定義域の決定である。$0 \leqq \alpha \leqq \beta$ という大小関係と、導かれた $\alpha \beta = \frac{1}{6}$ を組み合わせることで、初めて $\alpha$ の上限が $\frac{1}{\sqrt{6}}$ と定まる。この定義域を求め忘れると、増減を正しく評価できない可能性がある。

答え

$S = -\frac{1}{6}\alpha^3 + \frac{1}{12}\alpha$

最大値: $\frac{\sqrt{6}}{108}$