数学2 定積分 問題 17 解説

方針・初手

与えられた等式の左辺の定積分を計算する。

$\int f'(t) dt = f(t) + C$ ($C$ は積分定数) であることを用いて、積分区間を代入して整理する。これにより、$f(x)$ と $f(-x)$ の関係式が導かれる。その後、関数 $f(t)$ の具体的な式を用いて、恒等式の係数比較を行うことで定数 $a$ の値を求める。

解法1

与えられた等式の左辺の定積分を計算すると、

$$ \int_{-x}^x f'(t) dt = \left[ f(t) \right]_{-x}^x = f(x) - f(-x) $$

となる。これが右辺の $2f(x)$ と等しいから、

$$ f(x) - f(-x) = 2f(x) $$

整理して、

$$ f(x) + f(-x) = 0 $$

これが任意の $x$ に対して成り立つ。したがって、[(ア)] に入る値は $0$ である。

次に、$f(x) = x(x-a)(x-a+3)$ を展開する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= x \{ x^2 - (a + a - 3)x + a(a-3) \} \\ &= x^3 - (2a-3)x^2 + a(a-3)x \end{aligned} $$

ここで、先ほど得られた関係式 $f(x) + f(-x) = 0$ を用いる。$f(-x)$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} f(-x) &= (-x)^3 - (2a-3)(-x)^2 + a(a-3)(-x) \\ &= -x^3 - (2a-3)x^2 - a(a-3)x \end{aligned} $$

となるから、$f(x) + f(-x) = 0$ に代入して、

$$ \left\{ x^3 - (2a-3)x^2 + a(a-3)x \right\} + \left\{ -x^3 - (2a-3)x^2 - a(a-3)x \right\} = 0 $$

整理すると、

$$ -2(2a-3)x^2 = 0 $$

これが任意の $x$ に対して成り立つための条件は、$x^2$ の係数が $0$ となることである。

$$ -2(2a-3) = 0 $$

これを解いて、

$$ a = \frac{3}{2} $$

したがって、[(イ)] に入る値は $\frac{3}{2}$ である。

解説

微積分学の基本定理 $\int_a^b f'(t) dt = f(b) - f(a)$ を用いる基本的な問題である。

途中で導かれる式 $f(x) + f(-x) = 0$ は、$f(x) = -f(-x)$ と変形でき、これは関数 $f(x)$ が奇関数（グラフが原点に関して対称）であることを示している。多項式関数が奇関数であるための必要十分条件は、その多項式が奇数次の項のみで構成される（すなわち、偶数次の項と定数項の係数がすべて $0$ になる）ことである。

この性質を知っていれば、$f(x)$ を展開して $f(x) = x^3 - (2a-3)x^2 + a(a-3)x$ を得た段階で、直ちに偶数次である $x^2$ の係数が $0$ にならなければならないと判断でき、$-(2a-3) = 0$ より $a = \frac{3}{2}$ と素早く求めることができる。

答え

(ア): $0$

(イ): $\frac{3}{2}$