数学2 定積分 問題 19 解説

方針・初手

絶対値を含む定積分は、積分区間における絶対値の中身の符号変化で場合分けを行うのが定石である。まずは被積分関数 $(x - t + 2)(x + t)$ の符号を調べ、積分区間 $[-1, 1]$ 内に符号が変化する境界が含まれるかどうかで $t$ の範囲を場合分けする。

解法1

被積分関数の絶対値の中身を $g(x) = (x - t + 2)(x + t)$ とおく。

$g(x) = 0$ を解くと、$x = t-2, -t$ である。

$g(x)$ のグラフは下に凸な放物線であるため、$x \leqq -t$ および $t-2 \leqq x$ の範囲では $g(x) \geqq 0$、$-t \leqq x \leqq t-2$ の範囲では $g(x) \leqq 0$ となる。（ここで $t \geqq 1$ より $-t < t-2$ である）

$t \geqq 1$ のとき、$-t \leqq -1$ であるから、積分区間 $[-1, 1]$ のすべての $x$ は常に $x \geqq -t$ を満たす。

したがって、積分区間 $[-1, 1]$ における $g(x)$ の符号は、もう一つの境界である $x = t-2$ と積分区間の位置関係のみによって決まる。

(i) $-1 \leqq t-2 \leqq 1$、すなわち $1 \leqq t \leqq 3$ のとき

区間 $[-1, t-2]$ では $g(x) \leqq 0$、区間 $[t-2, 1]$ では $g(x) \geqq 0$ である。

よって、与えられた定積分は以下のように分割できる。

$$f(t) = \int_{-1}^{t-2} \{-g(x)\} dx + \int_{t-2}^{1} g(x) dx$$

ここで、$G(x) = \int g(x) dx = \int (x^2 + 2x - t^2 + 2t) dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - (t^2 - 2t)x$ とおくと、計算は以下のようになる。

$$f(t) = -[G(x)]_{-1}^{t-2} + [G(x)]_{t-2}^{1}$$

$$f(t) = G(1) + G(-1) - 2G(t-2)$$

各項を計算する。

$$G(1) = \frac{1}{3} + 1 - (t^2 - 2t) = -t^2 + 2t + \frac{4}{3}$$

$$G(-1) = -\frac{1}{3} + 1 + (t^2 - 2t) = t^2 - 2t + \frac{2}{3}$$

これより、$G(1) + G(-1) = 2$ である。

次に $G(t-2)$ を計算する。

$$G(t-2) = \frac{1}{3}(t-2)^3 + (t-2)^2 - t(t-2)^2$$

$$G(t-2) = (t-2)^2 \left\{ \frac{1}{3}(t-2) + 1 - t \right\}$$

$$G(t-2) = (t-2)^2 \left( \frac{1-2t}{3} \right)$$

$$G(t-2) = -\frac{1}{3} (t^2 - 4t + 4)(2t - 1)$$

$$G(t-2) = -\frac{1}{3} (2t^3 - 9t^2 + 12t - 4)$$

ゆえに、

$$f(t) = 2 - 2 \left\{ -\frac{1}{3} (2t^3 - 9t^2 + 12t - 4) \right\}$$

$$f(t) = \frac{4}{3}t^3 - 6t^2 + 8t - \frac{2}{3}$$

微分して増減を調べる。

$$f'(t) = 4t^2 - 12t + 8 = 4(t^2 - 3t + 2) = 4(t-1)(t-2)$$

$1 \leqq t \leqq 3$ の範囲において、$f'(t) = 0$ となるのは $t=1, 2$ である。

(ii) $t-2 > 1$、すなわち $t > 3$ のとき

積分区間 $[-1, 1]$ 全体において $x < t-2$ であり、かつ $-t \leqq -1 \leqq x$ であるため、常に $g(x) \leqq 0$ となる。

よって、

$$f(t) = \int_{-1}^{1} \{-g(x)\} dx = -\int_{-1}^{1} \{x^2 + 2x - (t^2 - 2t)\} dx$$

偶関数・奇関数の性質を利用して積分する。

$$f(t) = -2 \int_{0}^{1} \{x^2 - (t^2 - 2t)\} dx$$

$$f(t) = -2 \left[ \frac{1}{3}x^3 - (t^2 - 2t)x \right]_{0}^{1}$$

$$f(t) = -2 \left( \frac{1}{3} - t^2 + 2t \right) = 2t^2 - 4t - \frac{2}{3}$$

微分して増減を調べる。

$$f'(t) = 4t - 4 = 4(t-1)$$

$t > 3$ のとき常に $f'(t) > 0$ であるから、$f(t)$ はこの区間で単調増加する。

(i), (ii) より、$t \geqq 1$ における $f(t)$ の増減は以下のようになる。

$t=1$ のとき、

$$f(1) = \frac{4}{3} - 6 + 8 - \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$

$t=2$ のとき、

$$f(2) = \frac{32}{3} - 24 + 16 - \frac{2}{3} = 2$$

$t=3$ のとき、

$$f(3) = \frac{108}{3} - 54 + 24 - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$$

$f(t)$ は $1 \leqq t \leqq 2$ で単調減少、$t \geqq 2$ で単調増加する連続関数であるため、$t=2$ のとき最小値をとる。

解説

絶対値付き関数の定積分では、積分区間内で絶対値の中身の符号がどのように変化するかを丁寧に場合分けすることが鍵である。

今回は $x = t-2$ という境界が積分区間 $[-1, 1]$ をどのように分断するかに着目する。

また、積分計算において $G(t-2)$ などを計算する際、展開してから代入するのではなく、共通因数 $(t-2)^2$ でくくる工夫をすると計算ミスを防ぎやすくなる。積分区間に文字が含まれる場合の典型的な処理として習熟しておきたい。

答え

$t=2$ のとき、最小値 $2$