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数学2 定積分問題 20 解説

方針・初手

定積分 $\int_0^1 f(t) dt$ の値は定数となるため、これを文字でおくことから始める。また、積分区間に変数 $x$ を含む等式①については、両辺を $x$ で微分して関数 $f(x)$ を取り出すこと、および下端と同じ値である $x=1$ を代入して関係式を導くことが定石である。

解法1

定積分 $\int_0^1 f(t) dt$ は定数であるから、$k = \int_0^1 f(t) dt$ とおく。条件②は次のように表される。

$$g(x) = x^2 - 2kx + 1 \cdots\cdots \text{③}$$

条件①に $x = 1$ を代入すると、$\int_1^1 f(t) dt = 0$ より、

$$0 = g(1) + a + 2$$

③より $g(1) = 1^2 - 2k \cdot 1 + 1 = 2 - 2k$ であるから、

$$0 = (2 - 2k) + a + 2$$

整理して、

$$a = 2k - 4 \cdots\cdots \text{④}$$

次に、条件①の両辺を $x$ で微分すると、

$$f(x) = g(x) + x g'(x) + a \cdots\cdots \text{⑤}$$

③より $g'(x) = 2x - 2k$ である。これと③、④を⑤に代入して $f(x)$ を $k$ を用いて表す。

$$\begin{aligned} f(x) &= (x^2 - 2kx + 1) + x(2x - 2k) + (2k - 4) \\ &= x^2 - 2kx + 1 + 2x^2 - 2kx + 2k - 4 \\ &= 3x^2 - 4kx + 2k - 3 \cdots\cdots \text{⑥} \end{aligned}$$

ここでおいた $k$ の定義式 $k = \int_0^1 f(t) dt$ に⑥を代入する。

$$\begin{aligned} k &= \int_0^1 (3t^2 - 4kt + 2k - 3) dt \\ &= \left[ t^3 - 2kt^2 + (2k - 3)t \right]_0^1 \\ &= 1^3 - 2k \cdot 1^2 + (2k - 3) \cdot 1 - 0 \\ &= 1 - 2k + 2k - 3 \\ &= -2 \end{aligned}$$

よって、$k = -2$ と定まる。

これを④に代入して、

$$a = 2(-2) - 4 = -8$$

③に代入して、

$$g(x) = x^2 - 2(-2)x + 1 = x^2 + 4x + 1$$

⑥に代入して、

$$f(x) = 3x^2 - 4(-2)x + 2(-2) - 3 = 3x^2 + 8x - 7$$

解説

定積分を含む関数方程式の典型的な問題である。積分区間が定数から定数までの定積分 $\int_0^1 f(t)dt$ は実数値（定数）となるため、文字でおくのが鉄則である。また、積分区間に変数 $x$ を含む等式 $\int_a^x f(t)dt = \cdots$ は、両辺を $x$ で微分して被積分関数を取り出す処理と、積分区間の上端と下端が一致するような $x=a$ を代入して等式を導く処理を組み合わせることで解決に向かう。