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数学2 定積分問題 22 解説

方針・初手

積分区間に変数 $x$ を含む部分と、定数のみの区間からなる部分が混在する方程式である。第2項の積分 $\int_0^1 (x+y)^2 f(y)dy$ は、$x$ を積分変数 $y$ と無関係な定数として扱い、展開して積分の外にくくり出す。すると定積分 $\int_0^1 f(y)dy$ などの部分は定数となるため、これらを文字でおき、与式の両辺を $x$ で微分することで $f(x)$ の正体を明らかにする。

解法1

与えられた等式を変形する。

$$\int_0^x f(y) dy + \int_0^1 (x^2 + 2xy + y^2) f(y) dy = x^2 + C$$

$$\int_0^x f(y) dy + x^2 \int_0^1 f(y) dy + 2x \int_0^1 y f(y) dy + \int_0^1 y^2 f(y) dy = x^2 + C$$

ここで、積分区間が定数である定積分をそれぞれ $a, b, c$ とおく。

$$a = \int_0^1 f(y) dy, \quad b = \int_0^1 y f(y) dy, \quad c = \int_0^1 y^2 f(y) dy$$

これらを用いると、与式は次のように表される。

$$\int_0^x f(y) dy + a x^2 + 2b x + c = x^2 + C$$

両辺を $x$ について微分すると、次が得られる。

$$f(x) + 2a x + 2b = 2x$$

$$f(x) = 2(1 - a)x - 2b$$

この $f(x)$ を $a, b$ の定義式に代入し、$a, b$ についての連立方程式を導く。

$$a = \int_0^1 \{ 2(1 - a)y - 2b \} dy$$

$$a = \left[ (1 - a)y^2 - 2by \right]_0^1 = 1 - a - 2b$$

よって、整理すると次の式を得る。

$$2a + 2b = 1 \quad \cdots \text{①}$$

同様に $b$ について計算する。

$$b = \int_0^1 y \{ 2(1 - a)y - 2b \} dy$$

$$b = \int_0^1 \{ 2(1 - a)y^2 - 2by \} dy$$

$$b = \left[ \frac{2}{3}(1 - a)y^3 - by^2 \right]_0^1 = \frac{2}{3}(1 - a) - b$$

よって、整理すると次の式を得る。

$$2a + 6b = 2 \quad \cdots \text{②}$$

①、②の連立方程式を解く。②から①を引くと $4b = 1$ となり、$b = \frac{1}{4}$ である。これを①に代入して $a = \frac{1}{4}$ を得る。これらを $f(x)$ の式に代入する。

$$f(x) = 2 \left( 1 - \frac{1}{4} \right) x - 2 \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}$$

次に $C$ を求める。与えられた方程式の両辺に $x=0$ を代入すると、$\int_0^0 f(y) dy = 0$ であるから、

$$\int_0^1 y^2 f(y) dy = C$$

すなわち $C = c$ である。求めた $f(y)$ を用いて $C$ を計算する。

$$C = \int_0^1 y^2 \left( \frac{3}{2} y - \frac{1}{2} \right) dy$$

$$C = \int_0^1 \left( \frac{3}{2} y^3 - \frac{1}{2} y^2 \right) dy$$

$$C = \left[ \frac{3}{8} y^4 - \frac{1}{6} y^3 \right]_0^1 = \frac{3}{8} - \frac{1}{6} = \frac{5}{24}$$

以上より、$f(x)$ と $C$ が求まる。

解説

「定積分は定数になる」という性質と、「積分区間に変数 $x$ を含む定積分を $x$ で微分する」という基本操作を組み合わせた典型問題である。被積分関数の中に $x$ と $y$ が混在している場合は、積分変数でない $x$ を積分の外に出してから定数を文字でおく処理が定石である。$f(x)$ を求めた後、$C$ を求めるために積分方程式の基本である「下端と同じ値を代入して定数項を比較する」操作を行えばよい。