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数学2 定積分問題 23 解説

方針・初手

定積分で表された関数を含む等式の問題である。被積分関数が $t$ のみからなる定積分 $\int_0^x f(t) dt$ は両辺を $x$ で微分することで $f(x)$ を導き出せる。また、積分区間に変数を含まない定積分 $\int_{-1}^1 f(t) dt$ は定数として扱うことができる。さらに、元の等式において $x=0$ を代入することで、未知の定数に関する条件式を引き出すのが定石である。

解法1

(1)

与えられた等式

$$\int_0^x f(t) dt + x \int_{-1}^1 f(t) dt - \frac{1}{3} \{ f(1) - f(-1) \} = 4x^3 + px^2 - 10x - 4$$

の両辺を $x$ について微分すると、

$$f(x) + \int_{-1}^1 f(t) dt = 12x^2 + 2px - 10$$

となる。ここで、$\int_{-1}^1 f(t) dt$ は定数であるから、これを $C$ とおくと、

$$f(x) = 12x^2 + 2px - 10 - C$$

と表せる。

また、元の等式に $x=0$ を代入すると、

$$\int_0^0 f(t) dt + 0 \cdot \int_{-1}^1 f(t) dt - \frac{1}{3} \{ f(1) - f(-1) \} = -4$$

$$-\frac{1}{3} \{ f(1) - f(-1) \} = -4$$

$$f(1) - f(-1) = 12$$

となる。

先ほど求めた $f(x)$ の式から、

$$f(1) = 12 + 2p - 10 - C = 2p - C + 2$$

$$f(-1) = 12 - 2p - 10 - C = -2p - C + 2$$

となるので、これらを上の式に代入すると、

$$(2p - C + 2) - (-2p - C + 2) = 12$$

$$4p = 12$$

$$p = 3$$

となる。

このとき、$f(x) = 12x^2 + 6x - 10 - C$ となるので、これを $C = \int_{-1}^1 f(t) dt$ に代入すると、

$$C = \int_{-1}^1 (12t^2 + 6t - 10 - C) dt$$

被積分関数の奇数次の項の定積分は $0$ になることを利用し、偶数次の項は $2$ 倍の $\int_0^1$ として計算すると、

$$C = 2 \int_0^1 (12t^2 - 10 - C) dt$$

$$C = 2 \left[ 4t^3 - (10 + C)t \right]_0^1$$

$$C = 2 \{ 4 - (10 + C) \}$$

$$C = -12 - 2C$$

$$3C = -12$$

$$C = -4$$

となる。

よって、$f(x)$ は

$$f(x) = 12x^2 + 6x - 10 - (-4) = 12x^2 + 6x - 6$$

と求まる。

(2)

(1)の結果より、$f(x) = 12x^2 + 6x - 6$ であるから、

$$g(x) = (x+1)(12x^2 + 6x - 6) = 12x^3 + 18x^2 - 6$$

である。これを $x$ について微分すると、

$$g'(x) = 36x^2 + 36x = 36x(x+1)$$

となる。

$g'(x) = 0$ となる $x$ は、$x = -1, 0$ である。 $g(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$
$g'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$-6$	$\nearrow$

極大値は $x = -1$ のとき、 $g(-1) = 12(-1)^3 + 18(-1)^2 - 6 = 0$ 極小値は $x = 0$ のとき、 $g(0) = -6$ となる。

解説

定積分を含む関数方程式の標準的な問題である。$\int_a^x f(t)dt$ を $x$ で微分すると $f(x)$ になること、また積分区間に変数を含まない定積分は定数とおいて処理することが重要なポイントである。恒等式に特定の値を代入して未知数を求める手法と組み合わせることで、完答が容易になる。