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数学2 定積分問題 24 解説

方針・初手

被積分関数である絶対値の中身を因数分解し、符号が変化する境界と積分区間との位置関係を把握する。

絶対値の中の2次式を $f(x) = x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a$ とおくと、$f(x) = (x-a)(x-a-2)$ と因数分解できる。$a \geqq 0$ であることを踏まえ、積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ の符号を調べ、必要に応じて場合分けを行って定積分を計算する。

解法1

(1)

被積分関数の中身を $f(x)$ とおく。

$$f(x) = x^2 - 2(a+1)x + a^2 + 2a = (x-a)(x-a-2)$$

積分区間は $0 \leqq x \leqq 1$ である。$a \geqq 0$ より、$x-a-2 \leqq 1-0-2 = -1 < 0$ であるから、積分区間において常に $x-a-2 < 0$ が成り立つ。

したがって、$f(x)$ の符号は $x-a$ の符号のみに依存する。すなわち、$x \leqq a$ のとき $f(x) \geqq 0$ であり、$x > a$ のとき $f(x) < 0$ である。積分区間 $[0, 1]$ における $a$ の位置によって以下のように場合分けをする。

(i) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき

$0 \leqq x \leqq a$ において $f(x) \geqq 0$ であり、$a < x \leqq 1$ において $f(x) < 0$ である。よって、$S(a)$ は次のように計算できる。

$$S(a) = \int_0^a f(x) dx - \int_a^1 f(x) dx$$

ここで、不定積分 $F(x) = \int f(x) dx = \frac{1}{3}x^3 - (a+1)x^2 + (a^2+2a)x$ を用意する。

$$S(a) = [F(x)]_0^a - [F(x)]_a^1 = 2F(a) - F(0) - F(1)$$

それぞれ値を計算する。

$$F(0) = 0$$

$$F(a) = \frac{1}{3}a^3 - (a+1)a^2 + (a^2+2a)a = \frac{1}{3}a^3 + a^2$$

$$F(1) = \frac{1}{3} - (a+1) + (a^2+2a) = a^2 + a - \frac{2}{3}$$

これらを代入して整理する。

$$S(a) = 2 \left( \frac{1}{3}a^3 + a^2 \right) - 0 - \left( a^2 + a - \frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3}a^3 + a^2 - a + \frac{2}{3}$$

(ii) $a > 1$ のとき

積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において常に $x < a$ であるから、常に $f(x) > 0$ である。よって、$S(a)$ は次のように計算できる。

$$S(a) = \int_0^1 f(x) dx = F(1) - F(0) = a^2 + a - \frac{2}{3}$$

以上 (i)、(ii) より $S(a)$ が求まる。

(2)

(1) で求めた $S(a)$ の最小値を調べる。

(i) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき

$$S(a) = \frac{2}{3}a^3 + a^2 - a + \frac{2}{3}$$

これを $a$ で微分する。

$$S'(a) = 2a^2 + 2a - 1$$

$S'(a) = 0$ となる $a$ の値を求める。

$$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 2 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$$

$a \geqq 0$ であるから、$a = \frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$ である。$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、この値は $0 \leqq a \leqq 1$ の範囲に含まれる。 $0 \leqq a \leqq 1$ における $S(a)$ の増減を調べると、$0 \leqq a < \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ の範囲では $S'(a) < 0$ であり、$\frac{-1+\sqrt{3}}{2} < a \leqq 1$ の範囲では $S'(a) > 0$ となる。したがって、$S(a)$ は $a = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ のとき、極小かつ最小となる。

(ii) $a > 1$ のとき

$$S(a) = a^2 + a - \frac{2}{3} = \left( a + \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{11}{12}$$

これは放物線の一部であり、$a > 1$ の範囲において単調に増加する。

以上 (i)、(ii) より、$S(a)$ は区間全体で連続であり、$a = \frac{-1+\sqrt{3}}{2}$ で最小値をとる。

解説

絶対値を含む定積分の典型問題である。積分区間内での被積分関数の符号変化を正確に捉えることが第一歩となる。今回は文字 $a$ の範囲が $a \geqq 0$ と制限されているため、放物線の2つの交点のうち片方のみが積分区間に入り得ることに気づくと、場合分けが簡略化される。微分による関数の増減の調査も標準的であり、計算ミスを防ぐことが重要である。