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数学2 定積分問題 25 解説

方針・初手

絶対値記号を含む定積分は、積分区間内における絶対値の中身の正負によって場合分けをして絶対値を外す。本問では積分変数が $x$ であるため、$0 \leqq x \leqq 1$ における $x^2 - a^2$ の符号を調べる。さらに、(3)では実数全体での最小値が問われているため、$I(a)$ の対称性（偶奇性）を利用すると見通しが良い。

解法1

(1)

$a \geqq 1$ のとき、積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において $x^2 \leqq 1 \leqq a^2$ である。

すなわち $x^2 - a^2 \leqq 0$ となる。

したがって、絶対値を外すと以下のようになる。

$$I(a) = \int_0^1 -(x^2 - a^2) dx$$

$$I(a) = \int_0^1 (a^2 - x^2) dx$$

$$I(a) = \left[ a^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1$$

$$I(a) = a^2 - \frac{1}{3}$$

(2)

$0 \leqq a \leqq 1$ のとき、$0 \leqq x \leqq 1$ の範囲に $x = a$ が存在する。

$0 \leqq x \leqq a$ のとき、$x^2 - a^2 \leqq 0$

$a \leqq x \leqq 1$ のとき、$x^2 - a^2 \geqq 0$

となるため、積分区間を $0$ から $a$ と、$a$ から $1$ に分割して計算する。

$$I(a) = \int_0^a -(x^2 - a^2) dx + \int_a^1 (x^2 - a^2) dx$$

$$I(a) = \int_0^a (a^2 - x^2) dx + \int_a^1 (x^2 - a^2) dx$$

$$I(a) = \left[ a^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^a + \left[ \frac{1}{3}x^3 - a^2 x \right]_a^1$$

$$I(a) = \left( a^3 - \frac{1}{3}a^3 \right) + \left( \frac{1}{3} - a^2 \right) - \left( \frac{1}{3}a^3 - a^3 \right)$$

$$I(a) = \frac{2}{3}a^3 + \frac{1}{3} - a^2 + \frac{2}{3}a^3$$

$$I(a) = \frac{4}{3}a^3 - a^2 + \frac{1}{3}$$

(3)

定義式 $I(a) = \int_0^1 |x^2 - a^2| dx$ より、以下の等式が成り立つ。

$$I(-a) = \int_0^1 |x^2 - (-a)^2| dx = \int_0^1 |x^2 - a^2| dx = I(a)$$

よって $I(a)$ は偶関数であるため、$a \geqq 0$ の範囲での最小値を調べればよい。

(i) $a \geqq 1$ のとき

(1) より $I(a) = a^2 - \frac{1}{3}$ である。

この範囲において $I(a)$ は単調に増加するため、$a=1$ のとき最小となる。

その値は $I(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ である。

(ii) $0 \leqq a \leqq 1$ のとき

(2) より $I(a) = \frac{4}{3}a^3 - a^2 + \frac{1}{3}$ である。

$a$ について微分すると、以下のようになる。

$$I'(a) = 4a^2 - 2a$$

$$I'(a) = 2a(2a - 1)$$

$I'(a) = 0$ となるのは $a=0, \frac{1}{2}$ のときである。

$0 \leqq a \leqq 1$ における増減表は次のようになる。

$a$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$	$1$
$I'(a)$	$0$	$-$	$0$	$+$
$I(a)$	$\frac{1}{3}$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$\frac{2}{3}$

$a = \frac{1}{2}$ のとき、極小かつ最小となる。その値は以下の通りである。

$$I\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{2 - 3 + 4}{12} = \frac{1}{4}$$

(i)、(ii) より、$a \geqq 0$ における最小値は $\frac{1}{4}$ である。

$I(a)$ が偶関数であることから、実数全体での最小値も $\frac{1}{4}$ となる。

これは $a = \pm \frac{1}{2}$ のときにとる。

解説

絶対値付き定積分の標準的な問題である。積分変数は $x$ であるため、$x$ の変域内における正負に注意して絶対値を外すのが定石である。(3)において、実数 $a$ 全体での最小値が問われていることに気をつける必要がある。(1)および(2)で $a \geqq 0$ の範囲のみを誘導として計算しているため、偶関数であることに言及して負の範囲の議論を補うと記述がすっきりとまとまる。