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数学2 定積分問題 26 解説

方針・初手

与えられた3つの条件式から係数 $a, b, c, d$ の関係式を導き、未知数を減らす。その後、残った未知数を用いて定積分 $I$ を表し、その最小値を求める。

解法1

$f(x)$ は3次関数であるから、$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ （$a \neq 0$）とおける。条件 $f(1)=1$, $f(-1)=-1$ より、

$$a + b + c + d = 1$$

$$-a + b - c + d = -1$$

が成り立つ。辺々を足し合わせると、

$$2b + 2d = 0$$

となり、$d = -b$ を得る。また、辺々を引くと、

$$2a + 2c = 2$$

となり、$c = 1 - a$ を得る。

次に、条件 $\int_{-1}^1 (bx^2+cx+d)dx = 1$ について考える。積分区間が対称であるため、偶関数と奇関数の定積分の性質を用いると、

$$\int_{-1}^1 (bx^2+cx+d)dx = 2 \int_0^1 (bx^2+d)dx = 2 \left[ \frac{b}{3}x^3 + dx \right]_0^1 = 2 \left( \frac{b}{3} + d \right)$$

となる。したがって、

$$\frac{2}{3}b + 2d = 1$$

が成り立つ。これに $d = -b$ を代入すると、

$$-\frac{4}{3}b = 1$$

となり、$b = -\frac{3}{4}$ を得る。これより、$d = \frac{3}{4}$ である。以上より、$f(x)$ の係数は $a$ を用いて次のように表される。

$$b = -\frac{3}{4}, \quad c = 1 - a, \quad d = \frac{3}{4}$$

$$f(x) = ax^3 - \frac{3}{4}x^2 + (1-a)x + \frac{3}{4}$$

これを微分して $f''(x)$ を求める。

$$f'(x) = 3ax^2 - \frac{3}{2}x + 1 - a$$

$$f''(x) = 6ax - \frac{3}{2}$$

定積分 $I$ を計算する。

$$I = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \{f''(x)\}^2 dx = \int_{-1}^{\frac{1}{2}} \left( 6ax - \frac{3}{2} \right)^2 dx$$

被積分関数を展開すると、

$$\left( 6ax - \frac{3}{2} \right)^2 = 36a^2x^2 - 18ax + \frac{9}{4}$$

となるので、積分を実行する。

$$I = \left[ 12a^2x^3 - 9ax^2 + \frac{9}{4}x \right]_{-1}^{\frac{1}{2}}$$

$$I = \left( 12a^2 \cdot \frac{1}{8} - 9a \cdot \frac{1}{4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2} \right) - \left( 12a^2 \cdot (-1) - 9a \cdot 1 + \frac{9}{4} \cdot (-1) \right)$$

$$I = \left( \frac{3}{2}a^2 - \frac{9}{4}a + \frac{9}{8} \right) - \left( -12a^2 - 9a - \frac{9}{4} \right)$$

$$I = \frac{27}{2}a^2 + \frac{27}{4}a + \frac{27}{8}$$

$I$ は $a$ の2次関数であるから、平方完成して最小値を求める。

$$I = \frac{27}{2} \left( a^2 + \frac{1}{2}a \right) + \frac{27}{8} = \frac{27}{2} \left( a + \frac{1}{4} \right)^2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{1}{16} + \frac{27}{8}$$

$$I = \frac{27}{2} \left( a + \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{81}{32}$$

ゆえに、$I$ は $a = -\frac{1}{4}$ のとき最小値 $\frac{81}{32}$ をとる。 $a = -\frac{1}{4}$ は $a \neq 0$ を満たすので、$f(x)$ は確かに3次関数となる。このとき、$c = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{5}{4}$ となるため、求める関数 $f(x)$ は確定する。

解説

条件式から係数を決定し、残った未知数についての関数を最小化するという、微分積分の標準的な問題である。定積分の計算においては、積分区間が対称である性質を利用して偶関数と奇関数に分けると計算量が削減できる。また、$I$ の計算では、先に展開してから積分する方が安全かつ確実である。最後に、$f(x)$ が「3次関数」であるという条件から、$a \neq 0$ となることの確認を忘れないようにしたい。