数学2 定積分 問題 27 解説

方針・初手

絶対値を含む定積分は、絶対値記号の中身の正負が切り替わる点で積分区間を分割して計算するのが定石である。積分区間 $[x, x+1]$ は幅が $1$ であるから、この区間と $t=0$ の位置関係によって場合分けを行う。(3)以降の $f(x)$ の計算では、積分の線形性を利用して定積分の部分を分割し、(2)の結果を活用するとよい。

解法1

(1) $y = |x|$ の絶対値をはずすと、以下のようになる。

$$y = \begin{cases} x & (x \geqq 0) \\ -x & (x < 0) \end{cases}$$

したがって、求めるグラフは原点 $(0,0)$ を頂点とし、第1象限では直線 $y=x$、第2象限では直線 $y=-x$ となるV字型の折れ線である。

(2) $I = \int_x^{x+1} |t| dt$ とおく。積分区間 $[x, x+1]$ は幅が $1$ である。積分区間と $t=0$ の位置関係によって場合分けして計算する。

(i) $x \geqq 0$ のとき 積分区間 $[x, x+1]$ において常に $t \geqq 0$ であるから、$|t| = t$ となる。

$$\begin{aligned} I &= \int_x^{x+1} t dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_x^{x+1} \\ &= \frac{1}{2} \{ (x+1)^2 - x^2 \} \\ &= x + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

(ii) $-1 < x < 0$ のとき 積分区間内に $t=0$ が含まれるため、区間を分割して積分する。$x \leqq t \leqq 0$ では $|t| = -t$、$0 \leqq t \leqq x+1$ では $|t| = t$ となる。

$$\begin{aligned} I &= \int_x^0 (-t) dt + \int_0^{x+1} t dt \\ &= \left[ -\frac{1}{2}t^2 \right]_x^0 + \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_0^{x+1} \\ &= \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}(x+1)^2 \\ &= x^2 + x + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

(iii) $x \leqq -1$ のとき $x+1 \leqq 0$ であり、積分区間 $[x, x+1]$ において常に $t \leqq 0$ であるから、$|t| = -t$ となる。

$$\begin{aligned} I &= \int_x^{x+1} (-t) dt \\ &= \left[ -\frac{1}{2}t^2 \right]_x^{x+1} \\ &= -\frac{1}{2} \{ (x+1)^2 - x^2 \} \\ &= -x - \frac{1}{2} \end{aligned}$$

(3), (4), (5) 関数 $f(x)$ を、積分の線形性を用いて変形する。被積分関数の $x$ は積分変数 $t$ とは無関係な定数として扱える。

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_x^{x+1} (2t^2 + x|t|) dt \\ &= \int_x^{x+1} 2t^2 dt + x \int_x^{x+1} |t| dt \end{aligned}$$

ここで、第1項の定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_x^{x+1} 2t^2 dt &= \left[ \frac{2}{3}t^3 \right]_x^{x+1} \\ &= \frac{2}{3} \{ (x+1)^3 - x^3 \} \\ &= \frac{2}{3} (3x^2 + 3x + 1) \\ &= 2x^2 + 2x + \frac{2}{3} \end{aligned}$$

したがって、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = 2x^2 + 2x + \frac{2}{3} + x \int_x^{x+1} |t| dt$$

(3) $x \geqq 0$ の場合、(2)の (i) の結果を用いる。

$$\begin{aligned} f(x) &= 2x^2 + 2x + \frac{2}{3} + x \left( x + \frac{1}{2} \right) \\ &= 3x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{2}{3} \end{aligned}$$

(4) $-1 < x < 0$ の場合、(2)の (ii) の結果を用いる。

$$\begin{aligned} f(x) &= 2x^2 + 2x + \frac{2}{3} + x \left( x^2 + x + \frac{1}{2} \right) \\ &= x^3 + 3x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{2}{3} \end{aligned}$$

(5) $x \leqq -1$ の場合、(2)の (iii) の結果を用いる。

$$\begin{aligned} f(x) &= 2x^2 + 2x + \frac{2}{3} + x \left( -x - \frac{1}{2} \right) \\ &= x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{2}{3} \end{aligned}$$

解説

絶対値を含む定積分の標準的な問題である。積分変数が $t$ であり、$x$ は定数として積分記号の外に出せることに気づくのがポイントである。(2)で計算した結果を(3)以降で再利用する構造となっており、(3)(4)(5)の区間分けがそのまま(2)の絶対値を外す際の場合分けに対応しているという、親切な誘導となっている。

答え

(1) 原点 $(0,0)$ を頂点とし、第1象限では半直線 $y=x$ ($x \geqq 0$)、第2象限では半直線 $y=-x$ ($x < 0$) となるV字型のグラフ。

(2)

$$\int_x^{x+1} |t| dt = \begin{cases} x + \frac{1}{2} & (x \geqq 0) \\ x^2 + x + \frac{1}{2} & (-1 < x < 0) \\ -x - \frac{1}{2} & (x \leqq -1) \end{cases}$$

(3) $f(x) = 3x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{2}{3}$

(4) $f(x) = x^3 + 3x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{2}{3}$

(5) $f(x) = x^2 + \frac{3}{2}x + \frac{2}{3}$