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数学2 定積分問題 28 解説

方針・初手

絶対値を含む定積分であるから、積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における被積分関数の符号に着目して絶対値をはずす。本問の積分変数は $x$ であり、$t$ は定数扱いとなるため、$t$ の値によって絶対値のはずれる位置が変わることに注意し、場合分けを行う。その後、得られた $F(t)$ を $t$ で微分し、増減を調べることで最小値を求める。

解法1

(1) 積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、絶対値の中身 $x^2 - t^2$ の符号を調べる。 $x^2 - t^2 = (x-t)(x+t)$ であり、$x \geqq 0$ かつ $t \geqq 0$ より $x+t \geqq 0$ であるから、$x-t$ の符号によって絶対値の符号が決定される。

すなわち、 $0 \leqq x \leqq t$ のとき、$|x^2 - t^2| = -(x^2 - t^2) = t^2 - x^2$ $t \leqq x \leqq 1$ のとき、$|x^2 - t^2| = x^2 - t^2$ となる。

積分区間は $0 \leqq x \leqq 1$ であるため、$t$ と $1$ の大小関係で場合分けを行う。

(i) $0 \leqq t < 1$ のとき

積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ の途中に $x=t$ が含まれるため、ここで積分を分割する。

$$\begin{aligned} F(t) &= \int_{0}^{t} (t^2 - x^2) dx + \int_{t}^{1} (x^2 - t^2) dx \\ &= \left[ t^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{t} + \left[ \frac{1}{3}x^3 - t^2 x \right]_{t}^{1} \\ &= \left( t^3 - \frac{1}{3}t^3 \right) - 0 + \left( \frac{1}{3} - t^2 \right) - \left( \frac{1}{3}t^3 - t^3 \right) \\ &= \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{3} - t^2 + \frac{2}{3}t^3 \\ &= \frac{4}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3} \end{aligned}$$

(ii) $t \geqq 1$ のとき

積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において常に $x \leqq t$ であるため、絶対値はすべて負として外れる。

$$\begin{aligned} F(t) &= \int_{0}^{1} (t^2 - x^2) dx \\ &= \left[ t^2 x - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} \\ &= t^2 - \frac{1}{3} \end{aligned}$$

以上より、$F(t)$ は以下のように表される。 $0 \leqq t < 1$ のとき $F(t) = \frac{4}{3}t^3 - t^2 + \frac{1}{3}$ $t \geqq 1$ のとき $F(t) = t^2 - \frac{1}{3}$

(2) (1) で求めた $F(t)$ を $t$ について微分し、増減を調べる。

(i) $0 \leqq t < 1$ のとき

$$F'(t) = 4t^2 - 2t = 2t(2t - 1)$$

$F'(t) = 0$ とすると、$t = 0, \frac{1}{2}$ である。

(ii) $t \geqq 1$ のとき

$$F'(t) = 2t$$

この区間において $t \geqq 1$ であるから、常に $F'(t) > 0$ となり、$F(t)$ は単調に増加する。

これらより、$t \geqq 0$ における $F(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$F'(t)$	$0$	$-$	$0$	$+$		$+$
$F(t)$	$\frac{1}{3}$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$\frac{2}{3}$	$\nearrow$

極小値は、$t = \frac{1}{2}$ のときであり、

$$\begin{aligned} F\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{3} \\ &= \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{2 - 3 + 4}{12} \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$

となる。増減表より、極小かつ最小となるため、最小値をとるときの $t$ の値は $t = \frac{1}{2}$ である。

解説

絶対値を含む定積分の標準的な問題である。被積分関数の絶対値記号をはずすために、積分変数 $x$ と定数 $t$ の大小関係で場合分けを行うことがポイントである。積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ の中に境界である $x=t$ が含まれるかどうかで、さらに $t$ についての場合分けが発生する。関数 $F(t)$ は $t=1$ において連続であるため（$\lim_{t \to 1-0} F(t) = \lim_{t \to 1+0} F(t) = \frac{2}{3}$）、増減表を滑らかに繋ぐことができる。