数学2 定積分 問題 29 解説

方針・初手

定積分の中に絶対値が含まれているため、まずは絶対値記号を外すことから始めます。被積分関数 $|x - t|$ の符号は、$x - t$ の正負、すなわち積分変数 $t$ と定数とみなす $x$ の大小関係によって変わります。

積分区間は $1 \le t \le 2$ であるため、$x$ の値がこの区間の「左側にあるか」「内側にあるか」「右側にあるか」で絶対値の外れ方が異なります。したがって、$x \le 1$、$1 < x < 2$、$x \ge 2$ の3つの場合に分けて計算を行います。

解法1

被積分関数について、 $t \le x$ のとき $|x - t| = x - t$ $t > x$ のとき $|x - t| = -(x - t) = t - x$ である。積分区間 $1 \le t \le 2$ と $x$ の大小関係で場合分けをする。

(i) $x \le 1$ のとき $1 \le t \le 2$ において常に $t \ge x$ であるから、$|x - t| = t - x$ となる。

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_1^2 (t - x) dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^2 - xt \right]_1^2 \\ &= (2 - 2x) - \left( \frac{1}{2} - x \right) \\ &= -x + \frac{3}{2} \end{aligned}$$

(ii) $1 < x < 2$ のとき $1 \le t \le x$ においては $t \le x$ より $|x - t| = x - t$ となる。 $x \le t \le 2$ においては $t \ge x$ より $|x - t| = t - x$ となる。

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_1^x (x - t) dt + \int_x^2 (t - x) dt \\ &= \left[ xt - \frac{1}{2}t^2 \right]_1^x + \left[ \frac{1}{2}t^2 - xt \right]_x^2 \\ &= \left( x^2 - \frac{1}{2}x^2 \right) - \left( x - \frac{1}{2} \right) + (2 - 2x) - \left( \frac{1}{2}x^2 - x^2 \right) \\ &= \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} + 2 - 2x + \frac{1}{2}x^2 \\ &= x^2 - 3x + \frac{5}{2} \end{aligned}$$

これを平方完成すると、以下のようになる。

$$f(x) = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}$$

(iii) $x \ge 2$ のとき $1 \le t \le 2$ において常に $t \le x$ であるから、$|x - t| = x - t$ となる。

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_1^2 (x - t) dt \\ &= \left[ xt - \frac{1}{2}t^2 \right]_1^2 \\ &= (2x - 2) - \left( x - \frac{1}{2} \right) \\ &= x - \frac{3}{2} \end{aligned}$$

以上 (i), (ii), (iii) より、

$$f(x) = \begin{cases} -x + \frac{3}{2} & (x \le 1) \\ x^2 - 3x + \frac{5}{2} & (1 < x < 2) \\ x - \frac{3}{2} & (x \ge 2) \end{cases}$$

境界値を確認すると、$x = 1$ のとき、$-1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ であり、$1^2 - 3 \cdot 1 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ と一致する。 また、$x = 2$ のとき、$2^2 - 3 \cdot 2 + \frac{5}{2} = \frac{1}{2}$ であり、$2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ と一致するため、関数は連続である。

グラフは、$x \le 1$ では点 $(1, \frac{1}{2})$ を通り傾き $-1$ の半直線、$1 < x < 2$ では頂点が $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$ の下に凸の放物線の一部、$x \ge 2$ では点 $(2, \frac{1}{2})$ を通り傾き $1$ の半直線となる。

最小値は放物線の頂点においてとるため、$x = \frac{3}{2}$ のとき最小値 $\frac{1}{4}$ となる。

解法2

定積分の幾何学的意味、すなわち面積を用いて $f(x)$ を求める。 $f(x)$ は、$t$ を横軸としたときの $y = |x - t|$ のグラフと $t$ 軸、および2直線 $t = 1$、$t = 2$ で囲まれた図形の面積を表す。 $y = |t - x|$ のグラフは、点 $(x, 0)$ を頂点とする下向きの直角をなすV字型のグラフである。

(i) $x \le 1$ のとき 図形は、上底 $1 - x$、下底 $2 - x$、高さ $1$ の台形となる。

$$f(x) = \frac{1}{2} \{(1 - x) + (2 - x)\} \cdot 1 = -x + \frac{3}{2}$$

(ii) $1 < x < 2$ のとき 図形は、底辺と高さが $x - 1$ の直角二等辺三角形と、底辺と高さが $2 - x$ の直角二等辺三角形の和となる。

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2} (x - 1)^2 + \frac{1}{2} (2 - x)^2 \\ &= \frac{1}{2} (x^2 - 2x + 1 + 4 - 4x + x^2) \\ &= x^2 - 3x + \frac{5}{2} \end{aligned}$$

(iii) $x \ge 2$ のとき 図形は、上底 $x - 2$、下底 $x - 1$、高さ $1$ の台形となる。

$$f(x) = \frac{1}{2} \{(x - 2) + (x - 1)\} \cdot 1 = x - \frac{3}{2}$$

これ以降のグラフの形状と最小値の考察は解法1と同様である。

解説

絶対値を含む定積分関数の典型的な問題です。積分変数は $t$ であり、$x$ は積分区間においては定数として扱うことを意識しましょう。

解法1のような代数的な計算でも難なく解けますが、解法2のように被積分関数をグラフと捉えて面積で処理するアプローチも強力です。特に絶対値が一次式の場合は、図形が三角形や台形といった直線的な図形になるため、積分計算を省略して迅速に式を立てることができます。両方の視点を持っておくことが大切です。

答え

$y = f(x)$ のグラフは以下の3つの部分をつないだ図形となる。

$x \le 1$ の範囲：直線 $y = -x + \frac{3}{2}$

$1 < x < 2$ の範囲：放物線 $y = \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{1}{4}$

$x \ge 2$ の範囲：直線 $y = x - \frac{3}{2}$

（グラフは点 $(1, \frac{1}{2})$ と点 $(2, \frac{1}{2})$ で連続となる）

$f(x)$ は $x = \frac{3}{2}$ のとき、最小値 $\frac{1}{4}$ をとる。