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数学2 定積分問題 30 解説

方針・初手

絶対値を含む定積分は、積分区間における絶対値の中身の符号によって場合分けをして絶対値を外すのが基本である。本問では、積分変数は $x$ であり、区間は $0 \le x \le 1$ である。絶対値の中身は $x^2 - 2ax = x(x - 2a)$ であり、$x=0, 2a$ を境に符号が変化する。積分区間 $[0, 1]$ と境界 $x=2a$ の位置関係によって場合分けを行う。

解法1

(1)

積分区間は $0 \le x \le 1$ であり、この区間において $x \ge 0$ であるから、絶対値の中身 $x(x-2a)$ の符号は $x-2a$ の符号に依存する。境界となる $x=2a$ と積分区間 $[0, 1]$ の位置関係で場合分けをする。

(i) $2a \le 0$ すなわち $a \le 0$ のとき

区間 $0 \le x \le 1$ において $x-2a \ge 0$ であるから、$x^2 - 2ax \ge 0$ となる。

$$I(a) = \int_0^1 (x^2 - 2ax) dx$$

$$I(a) = \left[ \frac{1}{3}x^3 - ax^2 \right]_0^1$$

$$I(a) = \frac{1}{3} - a$$

(ii) $0 < 2a < 1$ すなわち $0 < a < \frac{1}{2}$ のとき

$0 \le x \le 2a$ のとき $x^2 - 2ax \le 0$、$2a \le x \le 1$ のとき $x^2 - 2ax \ge 0$ となる。

$$I(a) = \int_0^{2a} -(x^2 - 2ax) dx + \int_{2a}^1 (x^2 - 2ax) dx$$

$$I(a) = -\left[ \frac{1}{3}x^3 - ax^2 \right]_0^{2a} + \left[ \frac{1}{3}x^3 - ax^2 \right]_{2a}^1$$

$$I(a) = -\left( \frac{8}{3}a^3 - 4a^3 \right) + \left( \frac{1}{3} - a \right) - \left( \frac{8}{3}a^3 - 4a^3 \right)$$

$$I(a) = \frac{4}{3}a^3 + \frac{1}{3} - a + \frac{4}{3}a^3$$

$$I(a) = \frac{8}{3}a^3 - a + \frac{1}{3}$$

(iii) $1 \le 2a$ すなわち $a \ge \frac{1}{2}$ のとき

区間 $0 \le x \le 1$ において $x-2a \le 0$ であるから、$x^2 - 2ax \le 0$ となる。

$$I(a) = \int_0^1 -(x^2 - 2ax) dx$$

$$I(a) = -\left[ \frac{1}{3}x^3 - ax^2 \right]_0^1$$

$$I(a) = a - \frac{1}{3}$$

以上より、求める定積分 $I(a)$ は次のようになる。

$$I(a) = \begin{cases} -a + \frac{1}{3} & (a \le 0) \\ \frac{8}{3}a^3 - a + \frac{1}{3} & (0 < a < \frac{1}{2}) \\ a - \frac{1}{3} & (a \ge \frac{1}{2}) \end{cases}$$

(2)

(1) で求めた $I(a)$ の増減を調べる。

$a \le 0$ のとき、$I(a) = -a + \frac{1}{3}$ は単調減少である。

$a \ge \frac{1}{2}$ のとき、$I(a) = a - \frac{1}{3}$ は単調増加である。

したがって、$I(a)$ が最小値をとる $a$ は区間 $0 \le a \le \frac{1}{2}$ の中に存在する。この区間において、

$$I'(a) = 8a^2 - 1$$

$I'(a) = 0$ とすると $a = \pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ であり、$0 \le a \le \frac{1}{2}$ を満たすのは $a = \frac{\sqrt{2}}{4}$ のみである。区間 $0 \le a \le \frac{1}{2}$ における増減表は次のようになる。

$a$	$0$	$\cdots$	$\frac{\sqrt{2}}{4}$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$
$I'(a)$		$-$	$0$	$+$
$I(a)$	$\frac{1}{3}$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$\frac{1}{6}$

増減表と各区間での単調性より、$I(a)$ は $a = \frac{\sqrt{2}}{4}$ のとき最小値をとる。そのときの $I(a)$ の値は、

$$I\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{8}{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^3 - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{3}$$

$$I\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{8}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{64} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{3}$$

$$I\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{12} - \frac{3\sqrt{2}}{12} + \frac{1}{3}$$

$$I\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{6}$$

$$I\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \frac{2 - \sqrt{2}}{6}$$

解説

絶対値を含む定積分によって表された関数とその最小値を求める、標準的で頻出のテーマである。積分変数は $x$ であり、$a$ は定数として扱うこと、また、$a$ の値によって $x^2-2ax$ のグラフの $x$ 軸との交点が変わるため、積分区間 $[0, 1]$ との重なり具合で適切に場合分けを行うことがポイントである。最小値を求める際は、場合分けしたそれぞれの区間における関数の形を確認し、微分を用いて増減表を作成することで、正確な極値と最小値を求めることができる。