数学2 定積分 問題 31 解説

方針・初手

右辺にある定積分 $\int_0^1 t f(t-1) dt$ は、変数 $x$ を含まず、積分区間も定数から定数までであるため、計算結果はただの定数になることに着目する。この定積分をひとまず $a$ などの文字で置くことで $f(x)$ の形を決定し、それを再び定積分の式に代入して $a$ についての方程式を立てる。

解法1

$\int_0^1 t f(t-1) dt$ は定数であるから、これを $a$ とおく。

$$ a = \int_0^1 t f(t-1) dt $$

このとき、与えられた等式は次のように表される。

$$ f(x) = ax + 1 $$

これより、被積分関数に含まれる $f(t-1)$ は次のように計算できる。

$$ f(t-1) = a(t-1) + 1 = at - a + 1 $$

これを $a$ の定義式に代入して計算する。

$$\begin{aligned} a &= \int_0^1 t (at - a + 1) dt \\ &= \int_0^1 (at^2 - at + t) dt \\ &= \left[ \frac{a}{3}t^3 - \frac{a}{2}t^2 + \frac{1}{2}t^2 \right]_0^1 \\ &= \frac{a}{3} - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \\ &= -\frac{a}{6} + \frac{1}{2} \end{aligned}$$

これにより、$a$ についての一次方程式が得られる。これを解く。

$$ a + \frac{a}{6} = \frac{1}{2} $$

$$ \frac{7}{6}a = \frac{1}{2} $$

$$ a = \frac{3}{7} $$

求めた $a$ の値を $f(x) = ax + 1$ に代入し、求める関数を得る。

$$ f(x) = \frac{3}{7}x + 1 $$

解説

「定積分を含む関数」の決定問題において、積分区間が定数の場合はその定積分全体をひとつの定数とおくのが定石である。本問では被積分関数の中に $f(t-1)$ という形が含まれているが、自身で設定した $f(x)$ の式に $x = t-1$ を代入して展開するだけであり、特別な工夫は必要ない。定積分の計算を正確に行い、未知数 $a$ の方程式を確実に解き切ることが求められる。

答え

$$ f(x) = \frac{3}{7}x + 1 $$