数学2 定積分 問題 32 解説

方針・初手

求める定積分 $\int_0^1 f(x) dx$ の積分区間は $0 \leqq x \leqq 1$ であるため、まずは $0 \leqq x \leqq 1$ の範囲で関数 $f(x)$ を具体的に求めることを第一目標とする。定積分 $f(x) = \int_0^1 |x^2 - t^2| dt$ における積分変数は $t$ であるから、積分区間 $0 \leqq t \leqq 1$ における絶対値の中身 $x^2 - t^2$ の符号によって積分区間を分割して絶対値記号を外す。

解法1

求める値は $\int_0^1 f(x) dx$ であるから、$x$ が動く範囲は $0 \leqq x \leqq 1$ と限定して $f(x)$ を求めればよい。

$f(x) = \int_0^1 |x^2 - t^2| dt$ について、積分変数は $t$ であり、積分区間は $0 \leqq t \leqq 1$ である。 $0 \leqq x \leqq 1$ および $0 \leqq t \leqq 1$ のもとで、$|x^2 - t^2| = |(x - t)(x + t)|$ の符号を考える。この範囲では常に $x + t \geqq 0$ であるため、式全体の符号は $x - t$ の符号に一致する。 すなわち、積分区間 $0 \leqq t \leqq 1$ において、$t = x$ を境に次のように場合分けされる。

(i) $0 \leqq t \leqq x$ のとき

$x^2 - t^2 \geqq 0$ であるから、 $|x^2 - t^2| = x^2 - t^2$ となる。

(ii) $x \leqq t \leqq 1$ のとき

$x^2 - t^2 \leqq 0$ であるから、 $|x^2 - t^2| = -(x^2 - t^2) = t^2 - x^2$ となる。

したがって、$f(x)$ は積分区間を $0 \leqq t \leqq x$ と $x \leqq t \leqq 1$ に分けて、次のように計算できる。

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_0^x (x^2 - t^2) dt + \int_x^1 (t^2 - x^2) dt \\ &= \left[ x^2 t - \frac{1}{3}t^3 \right]_0^x + \left[ \frac{1}{3}t^3 - x^2 t \right]_x^1 \\ &= \left( x^3 - \frac{1}{3}x^3 \right) - 0 + \left( \frac{1}{3} - x^2 \right) - \left( \frac{1}{3}x^3 - x^3 \right) \\ &= \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{3} - x^2 + \frac{2}{3}x^3 \\ &= \frac{4}{3}x^3 - x^2 + \frac{1}{3} \end{aligned}$$

以上より $0 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ が求まったので、これを目的の定積分に代入する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 f(x) dx &= \int_0^1 \left( \frac{4}{3}x^3 - x^2 + \frac{1}{3} \right) dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{3}x \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{3} \end{aligned}$$

解説

絶対値記号を含む定積分を計算する際の基本問題である。 外側の定積分 $\int_0^1 f(x) dx$ の積分変数が $x$ であり、積分区間が $0 \leqq x \leqq 1$ であることに着目し、最初から $x$ の範囲を $0 \leqq x \leqq 1$ に限定して $f(x)$ を計算するのがポイントである。 もし $x$ の範囲を限定せずに一般の実数 $x$ について $f(x)$ を求めようとすると、$x < 0$、$0 \leqq x \leqq 1$、$x > 1$ の3パターンで場合分けをして積分を計算する手間が生じてしまう。最終的な計算に必要な範囲だけを見極めることで、効率的に解答を導くことができる。

答え

$$\frac{1}{3}$$