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数学2 定積分問題 33 解説

方針・初手

関数 $f(x)$ の式を、与えられた3点から求める。
与えられた定積分を実際に計算し、$a, b$ の2変数関数として表す。
得られた2変数関数を、一文字ずつ平方完成することで最小値を求める。

解法1

関数 $f(x)$ は点 $(-1, 0)$ と $(0, 1)$ を結ぶ線分と、点 $(0, 1)$ と $(1, 4)$ を結ぶ線分からなる。それぞれの区間における直線の方程式を求めると、

$$f(x) = \begin{cases} x + 1 & (-1 \leqq x \leqq 0) \\ 3x + 1 & (0 < x \leqq 1) \end{cases}$$

となる。

与えられた定積分を $I$ とおく。積分区間 $[-1, 1]$ を $x = 0$ を境に分けて計算する。

$$\begin{aligned} I &= \int_{-1}^1 \{f(x) - (a|x| + b)\}^2 dx \\ &= \int_{-1}^0 \{x + 1 - (-ax + b)\}^2 dx + \int_0^1 \{3x + 1 - (ax + b)\}^2 dx \\ &= \int_{-1}^0 \{(a+1)x + 1 - b\}^2 dx + \int_0^1 \{(3-a)x + 1 - b\}^2 dx \end{aligned}$$

それぞれの被積分関数を展開して積分する。

$$\begin{aligned} \int_{-1}^0 \{(a+1)x + 1 - b\}^2 dx &= \int_{-1}^0 \left\{ (a+1)^2 x^2 + 2(a+1)(1-b)x + (1-b)^2 \right\} dx \\ &= \left[ \frac{(a+1)^2}{3} x^3 + (a+1)(1-b) x^2 + (1-b)^2 x \right]_{-1}^0 \\ &= \frac{(a+1)^2}{3} - (a+1)(1-b) + (1-b)^2 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_0^1 \{(3-a)x + 1 - b\}^2 dx &= \int_0^1 \left\{ (3-a)^2 x^2 + 2(3-a)(1-b)x + (1-b)^2 \right\} dx \\ &= \left[ \frac{(3-a)^2}{3} x^3 + (3-a)(1-b) x^2 + (1-b)^2 x \right]_0^1 \\ &= \frac{(3-a)^2}{3} + (3-a)(1-b) + (1-b)^2 \end{aligned}$$

これらを足し合わせて $I$ を計算する。

$$\begin{aligned} I &= \frac{(a+1)^2 + (3-a)^2}{3} + (1-b)\{-(a+1) + (3-a)\} + 2(1-b)^2 \\ &= \frac{2a^2 - 4a + 10}{3} + (1-b)(2 - 2a) + 2(1 - 2b + b^2) \\ &= \frac{2}{3}a^2 - \frac{4}{3}a + \frac{10}{3} + 2 - 2a - 2b + 2ab + 2 - 4b + 2b^2 \\ &= 2b^2 + 2(a-3)b + \frac{2}{3}a^2 - \frac{10}{3}a + \frac{22}{3} \end{aligned}$$

$I$ を $b$ について平方完成する。

$$\begin{aligned} I &= 2 \left\{ b^2 + (a-3)b \right\} + \frac{2}{3}a^2 - \frac{10}{3}a + \frac{22}{3} \\ &= 2 \left( b + \frac{a-3}{2} \right)^2 - 2 \left(\frac{a-3}{2}\right)^2 + \frac{2}{3}a^2 - \frac{10}{3}a + \frac{22}{3} \\ &= 2 \left( b + \frac{a-3}{2} \right)^2 - \frac{a^2 - 6a + 9}{2} + \frac{2}{3}a^2 - \frac{10}{3}a + \frac{22}{3} \\ &= 2 \left( b + \frac{a-3}{2} \right)^2 + \frac{1}{6}a^2 - \frac{1}{3}a + \frac{17}{6} \end{aligned}$$

さらに残りの部分を $a$ について平方完成する。

$$\begin{aligned} I &= 2 \left( b + \frac{a-3}{2} \right)^2 + \frac{1}{6}(a^2 - 2a) + \frac{17}{6} \\ &= 2 \left( b + \frac{a-3}{2} \right)^2 + \frac{1}{6}(a - 1)^2 - \frac{1}{6} + \frac{17}{6} \\ &= 2 \left( b + \frac{a-3}{2} \right)^2 + \frac{1}{6}(a - 1)^2 + \frac{8}{3} \end{aligned}$$

$a, b$ は実数であるから、$ \left( b + \frac{a-3}{2} \right)^2 \geqq 0 $ かつ $ (a - 1)^2 \geqq 0 $ である。したがって、$I$ が最小となるのは、以下の条件を同時に満たすときである。

$$\begin{cases} b + \frac{a-3}{2} = 0 \\ a - 1 = 0 \end{cases}$$

これを解くと、$a = 1, b = 1$ を得る。また、そのときの最小値（積分の値）は $\frac{8}{3}$ である。

解法2

関数 $f(x)$ の式は

$$f(x) = \begin{cases} x + 1 & (-1 \leqq x \leqq 0) \\ 3x + 1 & (0 < x \leqq 1) \end{cases}$$

である。この式は絶対値を用いて $f(x) = 2x + 1 + |x|$ と1つの式で表すことができる。

与えられた定積分 $I$ を計算する。

$$\begin{aligned} I &= \int_{-1}^1 \{ (2x + 1 + |x|) - (a|x| + b) \}^2 dx \\ &= \int_{-1}^1 \{ 2x + (1-a)|x| + (1-b) \}^2 dx \end{aligned}$$

被積分関数を展開する。

$$\begin{aligned} \{ 2x + (1-a)|x| + (1-b) \}^2 &= 4x^2 + (1-a)^2 x^2 + (1-b)^2 \\ &\quad + 4(1-a)x|x| + 2(1-a)(1-b)|x| + 4(1-b)x \end{aligned}$$

積分区間は $[-1, 1]$ であり、原点対称である。奇関数である $x|x|$ と $x$ の定積分は $0$ となる。偶関数である $x^2, |x|, 1$ の定積分は $\int_0^1$ の計算結果の2倍となる。 $x \geqq 0$ において $|x| = x$ であるから、

$$\begin{aligned} I &= 2 \int_0^1 \left\{ 4x^2 + (1-a)^2 x^2 + 2(1-a)(1-b)x + (1-b)^2 \right\} dx \\ &= 2 \left[ \frac{4 + (1-a)^2}{3} x^3 + (1-a)(1-b)x^2 + (1-b)^2 x \right]_0^1 \\ &= 2 \left\{ \frac{4 + (1-a)^2}{3} + (1-a)(1-b) + (1-b)^2 \right\} \end{aligned}$$

ここで、見通しをよくするために $A = 1-a, B = 1-b$ とおく。

$$\begin{aligned} I &= 2 \left( \frac{4 + A^2}{3} + AB + B^2 \right) \\ &= 2 \left( B^2 + AB + \frac{1}{3}A^2 + \frac{4}{3} \right) \end{aligned}$$

括弧内を $B$ について平方完成する。

$$\begin{aligned} I &= 2 \left\{ \left( B + \frac{A}{2} \right)^2 - \frac{A^2}{4} + \frac{A^2}{3} + \frac{4}{3} \right\} \\ &= 2 \left( B + \frac{A}{2} \right)^2 + \frac{1}{6} A^2 + \frac{8}{3} \end{aligned}$$

$A, B$ は実数であるから、積分 $I$ が最小となるのは $B + \frac{A}{2} = 0$ かつ $A = 0$ のときである。すなわち $A = 0, B = 0$ である。これを $a, b$ に戻すと、$1 - a = 0$ より $a = 1$、$1 - b = 0$ より $b = 1$ となる。また、そのときの最小値は $\frac{8}{3}$ である。

解説

2変数関数の最小値を求める典型問題である。計算量はやや多いが、方針で迷うことは少ないだろう。解法1のように場合分けをして地道に積分を実行し、得られた式を片方の文字から順に平方完成していくのが基本である。計算ミスを防ぐために、解法2のように偶関数・奇関数の性質を利用して積分計算を簡略化する工夫も効果的である。原点で折れ曲がるグラフを絶対値を含む1つの式で表す変形に慣れておくと、計算量を大きく減らすことができる。