数学2 定積分 問題 34 解説

方針・初手

(1) は $g(x)=0$ の解が $x=p, p+1$ であることに着目し、因数定理を用いて $g(x)$ を式化する。$x^2$ の係数に注意する。

(2) は (1) で求めた $g(x)$ を用いて $f(x) = g(x) + x^2$ とし、定積分を計算する。積分計算には $\frac{1}{6}$ 公式を利用すると見通しがよい。得られた等式を $p$ の2次関数とみなし、実数 $p$ について平方完成を利用して $a$ のとり得る値の範囲を評価する。

解法1

(1)

$f(x)$ は $x^2$ の係数が $a$ の2次関数である。 $g(x) = f(x) - x^2$ と定めると、$a \neq 1$ より $g(x)$ は $x^2$ の係数が $a-1$ の2次関数となる。

与えられた条件 $f(p) = p^2$ より、

$$g(p) = f(p) - p^2 = 0$$

また、$f(p+1) = (p+1)^2$ より、

$$g(p+1) = f(p+1) - (p+1)^2 = 0$$

したがって、$g(x)$ は $x=p$ と $x=p+1$ を解にもち、因数定理より次のように表せる。

$$g(x) = (a-1)(x-p)\{x-(p+1)\}$$

(2)

(1) より、$f(x) = g(x) + x^2 = (a-1)(x-p)(x-p-1) + x^2$ である。 これを $\int_p^{p+1} f(x) dx = 0$ に代入する。

$$\begin{aligned} \int_p^{p+1} f(x) dx &= \int_p^{p+1} \{ (a-1)(x-p)(x-p-1) + x^2 \} dx \\ &= (a-1) \int_p^{p+1} (x-p)(x-p-1) dx + \int_p^{p+1} x^2 dx \end{aligned}$$

ここで、第1項の積分には $\frac{1}{6}$ 公式を用いる。

$$\int_p^{p+1} (x-p)\{x-(p+1)\} dx = -\frac{1}{6} \{(p+1) - p\}^3 = -\frac{1}{6}$$

第2項の積分を計算する。

$$\int_p^{p+1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_p^{p+1} = \frac{(p+1)^3 - p^3}{3} = p^2 + p + \frac{1}{3}$$

これらを元の定積分の式に代入して $=0$ とおくと、

$$-\frac{1}{6}(a-1) + p^2 + p + \frac{1}{3} = 0$$

この式を $a$ について解き、平方完成を行う。

$$\begin{aligned} \frac{a-1}{6} &= p^2 + p + \frac{1}{3} \\ a-1 &= 6p^2 + 6p + 2 \\ a &= 6p^2 + 6p + 3 \\ a &= 6\left(p^2 + p\right) + 3 \\ a &= 6\left(p + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{6}{4} + 3 \\ a &= 6\left(p + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} \end{aligned}$$

$p$ は実数であるから、$6\left(p + \frac{1}{2}\right)^2 \geqq 0$ が成り立つ。 したがって、

$$a \geqq \frac{3}{2}$$

となり、示された。

解説

(1) では、条件式 $f(p)=p^2$ を $f(p)-p^2=0$ と変形し、「$g(x)=0$ の解が $p$ である」と見抜くことが重要である。この「差の関数」を置くことで、未知の係数を複数設定することなく、シンプルに関数を決定できる。

(2) では、定積分の計算において $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta) dx = -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$ を用いると計算を効率化できる。また、得られた等式を $p$ を変数とする2次関数とみなし、平方完成によって最小値を求めることで不等式を証明する典型的な論法を用いている。

答え

(1)

$g(x) = (a-1)(x-p)(x-p-1)$

(2)

題意は示された。