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数学2 定積分問題 35 解説

方針・初手

ガウス記号 $[x]$ を含む関数の問題では、実数 $x$ を整数部分 $[x]$ と小数部分に分けて考えると見通しが良くなる。実数 $x$ の小数部分を $t = x - [x]$ とおくと、ガウス記号の定義より $0 \leqq t < 1$ であり、関数 $f(x)$ はこの $t$ を用いた式として簡潔に表現できる。

解法1

(1)

実数 $x$ の小数部分を $t = x - [x]$ とおく。ガウス記号の定義より、

$$0 \leqq t < 1$$

である。このとき $x = [x] + t$ であり、関数 $f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = [x] + 2t - t^2$$

ここで、$f(x) - x$ を計算する。

$$\begin{aligned} f(x) - x &= ([x] + 2t - t^2) - ([x] + t) \\ &= t - t^2 \\ &= t(1-t) \end{aligned}$$

$0 \leqq t < 1$ より $t \geqq 0$ かつ $1 - t > 0$ であるから、$t(1-t) \geqq 0$ となる。したがって、$f(x) - x \geqq 0$ すなわち $f(x) \geqq x$ が成り立つ。

(2)

任意の整数 $k$ に対して $[x+k] = [x] + k$ が成り立つ。これを用いて $f(x+1)$ を計算する。

$$\begin{aligned} f(x+1) &= [x+1] + 2(x+1 - [x+1]) - (x+1 - [x+1])^2 \\ &= ([x]+1) + 2(x+1 - ([x]+1)) - (x+1 - ([x]+1))^2 \\ &= [x] + 1 + 2(x - [x]) - (x - [x])^2 \\ &= \{[x] + 2(x - [x]) - (x - [x])^2\} + 1 \\ &= f(x) + 1 \end{aligned}$$

よって、$f(x+1) = f(x) + 1$ が成り立つ。

(3)

(i) $0 \leqq x < 1$ のとき

$[x] = 0$ であるから、

$$f(x) = 0 + 2(x - 0) - (x - 0)^2 = -x^2 + 2x = -(x-1)^2 + 1$$

(ii) $1 \leqq x < 2$ のとき

$[x] = 1$ であるから、

$$f(x) = 1 + 2(x - 1) - (x - 1)^2 = -x^2 + 4x - 2 = -(x-2)^2 + 2$$

(iii) $x = 2$ のとき

$[x] = 2$ であるから、

$$f(x) = 2 + 2(2 - 2) - (2 - 2)^2 = 2$$

以上より、$0 \leqq x \leqq 2$ における $y=f(x)$ のグラフは、以下の2つの放物線の一部を滑らかに繋いだ形となる。・$0 \leqq x < 1$ では、頂点が $(1, 1)$ 、軸が $x = 1$ である上に凸の放物線 $y = -x^2 + 2x$ ・$1 \leqq x \leqq 2$ では、頂点が $(2, 2)$ 、軸が $x = 2$ である上に凸の放物線 $y = -x^2 + 4x - 2$ グラフは原点 $(0, 0)$ を通り、点 $(1, 1)$ と点 $(2, 2)$ を通る右上がりの波線状の曲線となる。

(4)

積分区間を $a$ から $1$ までと、$1$ から $a+1$ までに分割する。

$$\int_{a}^{a+1} f(x) dx = \int_{a}^{1} f(x) dx + \int_{1}^{a+1} f(x) dx$$

第2項の積分において、$x = t+1$ と置換積分を行う。 $dx = dt$ であり、積分区間は $x$ が $1$ から $a+1$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $a$ まで変化する。 (2) で示した $f(t+1) = f(t) + 1$ を用いると、

$$\begin{aligned} \int_{1}^{a+1} f(x) dx &= \int_{0}^{a} f(t+1) dt \\ &= \int_{0}^{a} \{f(t) + 1\} dt \\ &= \int_{0}^{a} f(t) dt + \int_{0}^{a} 1 dt \\ &= \int_{0}^{a} f(x) dx + [x]_0^a \\ &= \int_{0}^{a} f(x) dx + a \end{aligned}$$

これを元の式に代入すると、

$$\begin{aligned} \int_{a}^{a+1} f(x) dx &= \int_{a}^{1} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx + a \\ &= \int_{0}^{1} f(x) dx + a \end{aligned}$$

ここで、$0 \leqq x \leqq 1$（積分の計算においては $x=1$ の1点の値は定積分の値に影響しないため $0 \leqq x < 1$ の関数形を用いる）において $f(x) = -x^2 + 2x$ であるから、

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} f(x) dx &= \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x) dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 \right]_{0}^{1} \\ &= -\frac{1}{3} + 1 \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

したがって、求める定積分の値は、

$$\int_{a}^{a+1} f(x) dx = \frac{2}{3} + a$$

となる。

解説

ガウス記号 $[x]$ を含む関数の性質を調べる問題である。実数 $x$ の小数部分を $x - [x]$ として扱うことで、ガウス記号特有の扱いにくさを解消し、単なる多項式の計算に帰着させる手法が基本かつ有効である。 (2) で示された $f(x+1) = f(x) + 1$ という関係式は、$y=f(x)$ のグラフが区間幅 $1$ ごとに $x$ 軸方向および $y$ 軸方向にそれぞれ $1$ ずつ平行移動した形になることを意味する。これを利用することで、(3) のグラフ描画や (4) の積分計算が大幅に簡略化される。(4) では、積分区間の幅が $1$ であることに着目し、(2) の性質と置換積分を組み合わせて $\int_{0}^{1} f(x) dx$ の計算に帰着させるのが定石である。