数学2 定積分 問題 37 解説

方針・初手

定積分で表された関数の微分の性質 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$ と、積分区間の上端と下端が等しいときの性質 $\int_a^a f(t)dt = 0$ を利用する。 与えられた等式の両辺を $x$ で微分することで関数 $f(x)$ を求め、両辺に $x=a$ を代入することで定数 $a$ についての方程式を立てる。

解法1

与えられた等式は以下の通りである。

$$\int_a^x f(t) dt = x^2 - 6x + 9$$

この等式の両辺を $x$ で微分すると、微積分学の基本定理より、

$$f(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 6x + 9)$$

$$f(x) = 2x - 6$$

が得られる。

次に、与えられた等式のもとの式の両辺に $x = a$ を代入する。左辺は $\int_a^a f(t) dt = 0$ となるため、

$$0 = a^2 - 6a + 9$$

となる。この $a$ についての2次方程式を解く。

$$(a - 3)^2 = 0$$

$$a = 3$$

したがって、求める関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値が定まる。

解説

定積分を含む関数方程式の最も基本的な典型問題である。 未知の関数 $f(t)$ が積分記号 $\int_a^x$ の中にある場合、両辺を $x$ で微分して $f(x)$ を取り出すという発想が第一手となる。 同時に、積分区間が $a$ から $a$ となるように $x=a$ を代入し、定数に関する条件式を導き出す操作も定石である。この2つの操作をセットで確実に実行できるようにしておくことが重要である。

答え

$$f(x) = 2x - 6, \quad a = 3$$