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数学2 定積分問題 39 解説

方針・初手

$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおき、与えられた2つの条件から係数 $a, b, c$ に関する連立方程式を立てる。 (1)では文字を消去して1次の項の係数 $b$ を求める。 (2)では解と係数の関係を用いて $\alpha, \beta$ の関係式を導く。 (3)は(2)で得られた関係式を満たす不定方程式を解く、典型的な整数問題に帰着させる。

解法1

$f(x)$ は2次式であるから、$a \neq 0$ として $f(x) = ax^2 + bx + c$ とおく。

条件(i)より、$f(1) = 4$ であるから

$$a + b + c = 4$$

条件(ii)より

$$\begin{aligned} \int_{-1}^2 (ax^2 + bx + c) dx &= \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx \right]_{-1}^2 \\ &= \left( \frac{8}{3}a + 2b + 2c \right) - \left( -\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b - c \right) \\ &= 3a + \frac{3}{2}b + 3c \end{aligned}$$

これが $15$ に等しいので

$$3a + \frac{3}{2}b + 3c = 15$$

両辺を $3$ で割ると

$$a + \frac{1}{2}b + c = 5$$

(1)

第1の式から第2の式を引くと

$$(a + b + c) - \left( a + \frac{1}{2}b + c \right) = 4 - 5$$

$$\frac{1}{2}b = -1$$

したがって

$$b = -2$$

よって、$f(x)$ の1次の項の係数は $-2$ である。

(2)

2次方程式 $f(x) = 0$ の2つの解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より

$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$$

$$\alpha\beta = \frac{c}{a}$$

(1)より $b = -2$ であるから

$$\alpha + \beta = \frac{2}{a}$$

これより

$$a = \frac{2}{\alpha + \beta}$$

また、$a + b + c = 4$ に $b = -2$ を代入して整理すると

$$c = 6 - a$$

これを $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ に代入すると

$$\alpha\beta = \frac{6 - a}{a} = \frac{6}{a} - 1$$

ここに $a = \frac{2}{\alpha + \beta}$ を代入すると

$$\alpha\beta = 6 \cdot \frac{\alpha + \beta}{2} - 1 = 3(\alpha + \beta) - 1$$

整理して、$\alpha$ と $\beta$ のみたす関係式は

$$\alpha\beta - 3\alpha - 3\beta + 1 = 0$$

(3)

(2)で求めた関係式を変形する。

$$\alpha\beta - 3\alpha - 3\beta + 9 - 8 = 0$$

$$(\alpha - 3)(\beta - 3) = 8$$

$\alpha, \beta$ はともに正の整数であるから、$\alpha - 3$ と $\beta - 3$ はともに $-2$ 以上の整数である。かけて $8$ になる整数の組 $(\alpha - 3, \beta - 3)$ は

$$(\alpha - 3, \beta - 3) = (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1)$$

したがって、$(\alpha, \beta)$ の組は

$$(\alpha, \beta) = (4, 11), (5, 7), (7, 5), (11, 4)$$

これらの組に対して、$f(x)$ を決定する。

(i) $(\alpha, \beta) = (4, 11), (11, 4)$ のとき

$\alpha + \beta = 15$ であるから

$$a = \frac{2}{15}$$

$$c = 6 - \frac{2}{15} = \frac{88}{15}$$

これは $a \neq 0$ を満たす。よって

$$f(x) = \frac{2}{15}x^2 - 2x + \frac{88}{15}$$

(ii) $(\alpha, \beta) = (5, 7), (7, 5)$ のとき

$\alpha + \beta = 12$ であるから

$$a = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$$

$$c = 6 - \frac{1}{6} = \frac{35}{6}$$

これも $a \neq 0$ を満たす。よって

$$f(x) = \frac{1}{6}x^2 - 2x + \frac{35}{6}$$

以上より、求める $f(x)$ がすべて得られた。

解説

2次関数、解と係数の関係、および整数の性質を組み合わせた総合問題である。 (1)では、未知数が $a, b, c$ の3つに対して等式が2つしか得られないため、それぞれの値を完全に決定することはできない。しかし、$a$ と $c$ の係数が揃っていることに着目すれば、差をとることで $b$ だけが求まる仕組みになっている。 (2)では、残りの未知数 $a, c$ の関係式を用いて、解と係数の関係から導かれる式から文字を消去していく。$\alpha, \beta$ の関係式に帰着させるための代入計算を正確に行うことが求められる。 (3)は、得られた関係式を $(\alpha - k)(\beta - l) = m$ の形に因数分解する、整数問題の典型的な解法である。$\alpha, \beta$ が正の整数であることから $\alpha - 3 \geqq -2, \beta - 3 \geqq -2$ となる条件を見落とさないようにし、不適な解の混入を防ぐことが重要である。最後に求めた $a$ が $a \neq 0$ を満たすことの確認も忘れてはならない。