数学2 定積分 問題 40 解説

方針・初手

積分区間が定数である定積分 $\int_0^1 f(t) dt$ は、全体としてある1つの定数となることに着目する。

この定積分を文字定数でおくことで、$f(x)$ をその文字を含んだ具体的な式で表すことができる。その後、おいた定積分の式に $f(t)$ を代入し、文字定数についての方程式を解く。

解法1

定積分は定数であるから、

$$\int_0^1 f(t) dt = k \quad \text{($k$ は定数)}$$

とおく。これを与えられた等式に代入すると、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = x^2 + 4x - k$$

このとき、$f(t) = t^2 + 4t - k$ である。これを最初の定積分の式に代入する。

$$\begin{aligned} k &= \int_0^1 (t^2 + 4t - k) dt \\ &= \left[ \frac{1}{3}t^3 + 2t^2 - kt \right]_0^1 \\ &= \left( \frac{1}{3} + 2 - k \right) - 0 \\ &= \frac{7}{3} - k \end{aligned}$$

これにより、$k$ についての1次方程式が得られる。

$$k = \frac{7}{3} - k$$

これを解いて $k$ の値を求める。

$$2k = \frac{7}{3}$$

$$k = \frac{7}{6}$$

求めた $k$ の値を $f(x) = x^2 + 4x - k$ に代入する。

$$f(x) = x^2 + 4x - \frac{7}{6}$$

解説

積分方程式の中でも、「積分区間が定数」である場合の最も基本的な典型問題である。$\int_a^b f(t) dt$ （$a, b$ は定数）の部分が $x$ に無関係な定数となるため、これを $k$ などの文字でおくという定石を覚えておけば、あとは基本的な積分計算と1次方程式を解くだけで完答できる。

答え

$f(x) = x^2 + 4x - \frac{7}{6}$