数学2 定積分 問題 41 解説

方針・初手

絶対値記号を含む定積分である。積分区間内における絶対値の中身の符号によって、積分を分割する必要がある。絶対値の中身 $x^2 - 3$ の符号が変わる $x = \sqrt{3}$ と、積分区間の上端 $a$ の大小関係で場合分けを行う。

解法1

$f(x) = |x^2 - 3|$ とおく。

$x \ge 0$ において、$x^2 - 3 = 0$ となるのは $x = \sqrt{3}$ のときである。したがって、$f(x)$ の絶対値は次のように外れる。

$0 \le x \le \sqrt{3}$ のとき、$x^2 - 3 \le 0$ より $f(x) = -(x^2 - 3) = 3 - x^2$

$x > \sqrt{3}$ のとき、$x^2 - 3 > 0$ より $f(x) = x^2 - 3$

これをもとに、積分区間の上端 $a$ と境界となる $\sqrt{3}$ の大小関係で場合分けをする。

(i) $0 < a \le \sqrt{3}$ のとき

積分区間 $0 \le x \le a$ においては常に $x^2 - 3 \le 0$ であるから、

$$\int_0^a |x^2 - 3| dx = \int_0^a (3 - x^2) dx$$

$$= \left[ 3x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^a$$

$$= -\frac{1}{3}a^3 + 3a$$

(ii) $a > \sqrt{3}$ のとき

積分区間は $x = \sqrt{3}$ を境界として符号が変化するため、積分を分割する。

$$\int_0^a |x^2 - 3| dx = \int_0^{\sqrt{3}} (3 - x^2) dx + \int_{\sqrt{3}}^a (x^2 - 3) dx$$

$$= \left[ 3x - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^{\sqrt{3}} + \left[ \frac{1}{3}x^3 - 3x \right]_{\sqrt{3}}^a$$

$$= \left( 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} \right) + \left( \frac{1}{3}a^3 - 3a \right) - \left( \frac{3\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3} \right)$$

$$= 2\sqrt{3} + \left( \frac{1}{3}a^3 - 3a \right) - (-2\sqrt{3})$$

$$= \frac{1}{3}a^3 - 3a + 4\sqrt{3}$$

以上より、求める定積分が得られる。

解説

絶対値を含む定積分の標準的な問題である。被積分関数の符号が変わる点で積分区間を分割するのが基本である。本問では上端の $a$ が文字で与えられているため、$a$ と符号変化の境界値（本問では $\sqrt{3}$）との大小関係による場合分けが必須となる。グラフを描いて面積として捉えることで、計算の全体像を把握しやすくなる。

答え

$0 < a \le \sqrt{3}$ のとき、$-\frac{1}{3}a^3 + 3a$

$a > \sqrt{3}$ のとき、$\frac{1}{3}a^3 - 3a + 4\sqrt{3}$