トップ› 基礎問題› 数学2› 積分法› 定積分› 問題 42

数学2 定積分問題 42 解説

方針・初手

(1) は基本公式にしたがって不定積分を計算する。
(2) は被積分関数 $2x^2 - ax = 2x\left(x - \frac{a}{2}\right)$ の符号が積分区間 $[-1, 2]$ でどのように変化するかによって場合分けを行う。$x$ 軸との交点は $0, \frac{a}{2}$ であるから、$\frac{a}{2}$ と積分区間 $[-1, 2]$ の位置関係に着目する。
(3) は (2) で求めた $S(a)$ の各範囲における導関数 $S'(a)$ を計算し、増減を調べて最小値を求める。

解法1

(1) 与えられた関数を $x$ について積分する。

$$\int (2x^2 - ax) dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 + C \quad (C \text{ は積分定数})$$

(2) $f(x) = 2x^2 - ax$ とおくと、$f(x) = 2x\left(x - \frac{a}{2}\right)$ である。方程式 $f(x) = 0$ の解は $x = 0, \frac{a}{2}$ であり、$y = f(x)$ のグラフは下に凸の放物線である。また、(1) より $F(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2$ とすると、$F(0) = 0$、$F(-1) = -\frac{2}{3} - \frac{a}{2}$、$F(2) = \frac{16}{3} - 2a$、 $F\left(\frac{a}{2}\right) = \frac{2}{3}\left(\frac{a}{2}\right)^3 - \frac{a}{2}\left(\frac{a}{2}\right)^2 = -\frac{a^3}{24}$ である。

定積分 $S(a) = \int_{-1}^2 |f(x)| dx$ を計算するため、$x = \frac{a}{2}$ と積分区間 $[-1, 2]$ の位置関係で場合分けを行う。

(i) $\frac{a}{2} \le -1$ すなわち $a \le -2$ のとき積分区間 $[-1, 2]$ において、$-1 \le x \le 0$ では $f(x) \le 0$、$0 \le x \le 2$ では $f(x) \ge 0$ である。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{-1}^0 \{-f(x)\} dx + \int_0^2 f(x) dx \\ &= - \left[ F(x) \right]_{-1}^0 + \left[ F(x) \right]_0^2 \\ &= F(-1) + F(2) \\ &= \left( -\frac{2}{3} - \frac{a}{2} \right) + \left( \frac{16}{3} - 2a \right) \\ &= -\frac{5}{2}a + \frac{14}{3} \end{aligned}$$

(ii) $-1 < \frac{a}{2} \le 0$ すなわち $-2 < a \le 0$ のとき積分区間 $[-1, 2]$ において、$-1 \le x \le \frac{a}{2}$ で $f(x) \ge 0$、$\frac{a}{2} \le x \le 0$ で $f(x) \le 0$、$0 \le x \le 2$ で $f(x) \ge 0$ である。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{-1}^{\frac{a}{2}} f(x) dx + \int_{\frac{a}{2}}^0 \{-f(x)\} dx + \int_0^2 f(x) dx \\ &= \left[ F(x) \right]_{-1}^{\frac{a}{2}} - \left[ F(x) \right]_{\frac{a}{2}}^0 + \left[ F(x) \right]_0^2 \\ &= 2F\left(\frac{a}{2}\right) - F(-1) + F(2) \\ &= 2\left( -\frac{a^3}{24} \right) - \left( -\frac{2}{3} - \frac{a}{2} \right) + \left( \frac{16}{3} - 2a \right) \\ &= -\frac{1}{12}a^3 - \frac{3}{2}a + 6 \end{aligned}$$

(iii) $0 < \frac{a}{2} \le 2$ すなわち $0 < a \le 4$ のとき積分区間 $[-1, 2]$ において、$-1 \le x \le 0$ で $f(x) \ge 0$、$0 \le x \le \frac{a}{2}$ で $f(x) \le 0$、$\frac{a}{2} \le x \le 2$ で $f(x) \ge 0$ である。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{-1}^0 f(x) dx + \int_0^{\frac{a}{2}} \{-f(x)\} dx + \int_{\frac{a}{2}}^2 f(x) dx \\ &= \left[ F(x) \right]_{-1}^0 - \left[ F(x) \right]_0^{\frac{a}{2}} + \left[ F(x) \right]_{\frac{a}{2}}^2 \\ &= -F(-1) - 2F\left(\frac{a}{2}\right) + F(2) \\ &= - \left( -\frac{2}{3} - \frac{a}{2} \right) - 2\left( -\frac{a^3}{24} \right) + \left( \frac{16}{3} - 2a \right) \\ &= \frac{1}{12}a^3 - \frac{3}{2}a + 6 \end{aligned}$$

(iv) $2 < \frac{a}{2}$ すなわち $a > 4$ のとき積分区間 $[-1, 2]$ において、$-1 \le x \le 0$ では $f(x) \ge 0$、$0 \le x \le 2$ では $f(x) \le 0$ である。

$$\begin{aligned} S(a) &= \int_{-1}^0 f(x) dx + \int_0^2 \{-f(x)\} dx \\ &= \left[ F(x) \right]_{-1}^0 - \left[ F(x) \right]_0^2 \\ &= -F(-1) - F(2) \\ &= - \left( -\frac{2}{3} - \frac{a}{2} \right) - \left( \frac{16}{3} - 2a \right) \\ &= \frac{5}{2}a - \frac{14}{3} \end{aligned}$$

以上より、求める $S(a)$ は

$$S(a) = \begin{cases} -\frac{5}{2}a + \frac{14}{3} & (a \le -2) \\ -\frac{1}{12}a^3 - \frac{3}{2}a + 6 & (-2 < a \le 0) \\ \frac{1}{12}a^3 - \frac{3}{2}a + 6 & (0 < a \le 4) \\ \frac{5}{2}a - \frac{14}{3} & (a > 4) \end{cases}$$

(3) (2) で求めた $S(a)$ について、各区間での増減を調べる。

(i) $a \le -2$ のとき $S'(a) = -\frac{5}{2} < 0$ より、この区間で $S(a)$ は単調に減少する。

(ii) $-2 < a \le 0$ のとき $S'(a) = -\frac{1}{4}a^2 - \frac{3}{2} < 0$ より、この区間で $S(a)$ は単調に減少する。

(iii) $0 < a \le 4$ のとき $S'(a) = \frac{1}{4}a^2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{4}(a^2 - 6)$ $S'(a) = 0$ となるのは、区間 $0 < a \le 4$ において $a = \sqrt{6}$ のときである。 $0 < a < \sqrt{6}$ で $S'(a) < 0$、$\sqrt{6} < a < 4$ で $S'(a) > 0$ であるから、$a = \sqrt{6}$ で極小かつ最小となる。

(iv) $a > 4$ のとき $S'(a) = \frac{5}{2} > 0$ より、この区間で $S(a)$ は単調に増加する。

以上から、$S(a)$ 全体を通しても $a = \sqrt{6}$ のとき最小値をとる。その値は

$$\begin{aligned} S(\sqrt{6}) &= \frac{1}{12}(\sqrt{6})^3 - \frac{3}{2}\sqrt{6} + 6 \\ &= \frac{6\sqrt{6}}{12} - \frac{3\sqrt{6}}{2} + 6 \\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{3\sqrt{6}}{2} + 6 \\ &= 6 - \sqrt{6} \end{aligned}$$

解説

絶対値のついた定積分に関する標準的な問題である。被積分関数 $2x^2 - ax = 2x\left(x - \frac{a}{2}\right)$ は $x=0$ と $x=\frac{a}{2}$ で符号が変わるため、積分区間 $[-1, 2]$ に対して交点 $\frac{a}{2}$ がどの位置にあるかで場合分けをする。$x=0$ が常に積分区間内に含まれているため、区間の分割がやや煩雑になるが、事前に不定積分 $F(x)$ を求めておくことで定積分の計算負担を減らし、計算ミスを防ぐことができる。(3) は各区間の導関数を求め、全体として連続な関数 $S(a)$ の増減表をイメージしながら最小値を特定すればよい。