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数学2 定積分問題 43 解説

方針・初手

被積分関数に絶対値が含まれているため、積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における $x^3 - a^3$ の符号を調べる。

$a$ の値によって符号が変わる境界が積分区間の内側にあるか外側にあるかで場合分けを行い、絶対値をはずして定積分を計算する。

解法1

(1)

積分区間は $0 \leqq x \leqq 1$ である。

$x^3 - a^3 = (x-a)(x^2+ax+a^2)$ であり、$x \geqq 0, a \geqq 0$ のとき $x^2+ax+a^2 \geqq 0$ となるから、$x^3 - a^3$ の符号は $x-a$ の符号と一致する。

積分区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において絶対値をはずすため、$a$ の値で場合分けを行う。

(i) $a \geqq 1$ のとき

$0 \leqq x \leqq 1$ において常に $x \leqq a$ であるから、$x^3 - a^3 \leqq 0$ となる。

よって、

$$\begin{aligned} f(a) &= \int_0^1 -(x^3 - a^3) dx \\ &= \left[ a^3 x - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 \\ &= a^3 - \frac{1}{4} \end{aligned}$$

(ii) $0 \leqq a < 1$ のとき

$0 \leqq x \leqq a$ において $x^3 - a^3 \leqq 0$、$a \leqq x \leqq 1$ において $x^3 - a^3 \geqq 0$ となる。

よって、

$$\begin{aligned} f(a) &= \int_0^a -(x^3 - a^3) dx + \int_a^1 (x^3 - a^3) dx \\ &= \left[ a^3 x - \frac{x^4}{4} \right]_0^a + \left[ \frac{x^4}{4} - a^3 x \right]_a^1 \\ &= \left( a^4 - \frac{a^4}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - a^3 \right) - \left( \frac{a^4}{4} - a^4 \right) \\ &= \frac{3}{4}a^4 + \frac{1}{4} - a^3 + \frac{3}{4}a^4 \\ &= \frac{3}{2}a^4 - a^3 + \frac{1}{4} \end{aligned}$$

以上より、$f(a)$ は次のように求められる。

$0 \leqq a < 1$ のとき $f(a) = \frac{3}{2}a^4 - a^3 + \frac{1}{4}$ $a \geqq 1$ のとき $f(a) = a^3 - \frac{1}{4}$

(2)

(1)で求めた $f(a)$ について導関数 $f'(a)$ を計算する。

$0 < a < 1$ のとき

$$\begin{aligned} f'(a) &= 6a^3 - 3a^2 \\ &= 3a^2(2a - 1) \end{aligned}$$

$f'(a) = 0$ とすると、$a > 0$ より $a = \frac{1}{2}$ である。

$a > 1$ のとき

$$f'(a) = 3a^2 > 0$$

また、$a = 1$ のときの左側極限と右側極限をとると、 $\lim_{a \to 1-0} f'(a) = 6 - 3 = 3$ $\lim_{a \to 1+0} f'(a) = 3$ となり一致するため、$a = 1$ においても微分可能であり $f'(1) = 3$ である。

これをもとに、$a \geqq 0$ における $f(a)$ の増減表を書くと次のようになる。

$a$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(a)$		$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f(a)$	$\frac{1}{4}$	$\searrow$	$\frac{7}{32}$	$\nearrow$	$\frac{3}{4}$	$\nearrow$

$a = \frac{1}{2}$ のときの極小値は、

$$\begin{aligned} f\left(\frac{1}{2}\right) &= \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^4 - \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{4} \\ &= \frac{3}{32} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \\ &= \frac{3 - 4 + 8}{32} \\ &= \frac{7}{32} \end{aligned}$$

また、$a \to \infty$ のとき $f(a) \to \infty$ であるから、最大値は存在しない。

増減表より、関数 $f(a)$ は $a = \frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{7}{32}$ をとり、最大値はもたない。