数学2 定積分 問題 45 解説

方針・初手

絶対値記号を含む定積分を計算する問題である。 被積分関数の絶対値の中身の符号を調べ、積分区間を分割して絶対値を外すことから始める。

解法1

求める定積分を $I$ とおく。

$$I = \int_{-1}^1 \left|x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\right| dx$$

絶対値の中の関数を $f(x) = x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ とおく。$f(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$$

両辺を $2$ 倍して因数分解する。

$$2x^2 - x - 1 = 0$$

$$(2x + 1)(x - 1) = 0$$

よって、$x = -\frac{1}{2}, 1$ である。 したがって、積分区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ の符号は以下のようになる。

• $-1 \leqq x \leqq -\frac{1}{2}$ のとき、$f(x) \geqq 0$
• $-\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$ のとき、$f(x) \leqq 0$

これより、定積分 $I$ は次のように区間を分けて絶対値を外すことができる。

$$I = \int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \left( x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right) dx + \int_{-\frac{1}{2}}^1 -\left( x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right) dx$$

ここで、被積分関数の原始関数の1つを $F(x)$ とおく。

$$F(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x$$

定積分 $I$ を $F(x)$ を用いて表す。

$$I = \left[ F(x) \right]_{-1}^{-\frac{1}{2}} - \left[ F(x) \right]_{-\frac{1}{2}}^1$$

$$I = F\left(-\frac{1}{2}\right) - F(-1) - \left\{ F(1) - F\left(-\frac{1}{2}\right) \right\}$$

$$I = 2F\left(-\frac{1}{2}\right) - F(-1) - F(1)$$

それぞれの $F(x)$ の値を計算する。

$$F\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{8}\right) - \frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{24} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{-2 - 3 + 12}{48} = \frac{7}{48}$$

$$F(-1) = \frac{1}{3}(-1) - \frac{1}{4}(1) - \frac{1}{2}(-1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{-4 - 3 + 6}{12} = -\frac{1}{12}$$

$$F(1) = \frac{1}{3}(1) - \frac{1}{4}(1) - \frac{1}{2}(1) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{4 - 3 - 6}{12} = -\frac{5}{12}$$

これらの値を $I$ の式に代入する。

$$I = 2 \left( \frac{7}{48} \right) - \left( -\frac{1}{12} \right) - \left( -\frac{5}{12} \right)$$

$$I = \frac{7}{24} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12}$$

$$I = \frac{7}{24} + \frac{6}{12}$$

$$I = \frac{7}{24} + \frac{12}{24} = \frac{19}{24}$$

解法2

定積分の式を立てるまでは解法1と同様である。

$$I = \int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \left( x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right) dx - \int_{-\frac{1}{2}}^1 \left( x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right) dx$$

ここで、$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = \left( x + \frac{1}{2} \right)(x - 1)$ であるから、第2項の定積分は、放物線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める公式を利用できる。

$$-\int_{-\frac{1}{2}}^1 \left( x + \frac{1}{2} \right)(x - 1) dx = \frac{1}{6} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right) \right\}^3$$

$$= \frac{1}{6} \left( \frac{3}{2} \right)^3$$

$$= \frac{1}{6} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{16}$$

次に、第1項の定積分を計算する。

$$\int_{-1}^{-\frac{1}{2}} \left( x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \right) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x \right]_{-1}^{-\frac{1}{2}}$$

$$= \left( -\frac{1}{24} - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} \right) - \left( -\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \right)$$

$$= \frac{7}{48} - \left( -\frac{1}{12} \right)$$

$$= \frac{7}{48} + \frac{4}{48} = \frac{11}{48}$$

以上より、求める定積分 $I$ は次のようになる。

$$I = \frac{11}{48} + \frac{9}{16}$$

$$I = \frac{11}{48} + \frac{27}{48} = \frac{38}{48} = \frac{19}{24}$$

解説

絶対値を含む関数の定積分は、積分区間における符号の変化を調べ、区間を分割して計算するのが定石である。 本問では、積分区間 $[-1, 1]$ の途中に符号が切り替わる点 $x = -\frac{1}{2}$ が存在するため、そこで区間を分ける必要がある。

計算ミスを防ぐための工夫として、解法1のように原始関数を一旦 $F(x)$ と置いてから代入計算を行う方法や、解法2のように定積分の公式を利用して計算量を減らす方法が有効である。特に解法2で用いた放物線と直線の間の面積公式は、計算時間を短縮し正確性を高めるために活用したい。

答え

$$\frac{19}{24}$$