数学2 定積分 問題 47 解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数の定積分である。そのままでは積分できないため、まずは絶対値の中にある関数が積分区間 $0 \leqq x \leqq 2$ において正になるか負になるかを調べる。そのためには、関数の式を因数分解し、$0$ になる $x$ の値（グラフと $x$ 軸の交点）を見つけることが第一歩となる。

解法1

絶対値の中の関数を $f(x)$ とおき、因数分解する。

$$\begin{aligned} f(x) &= x^3 - x^2 - 4x + 4 \\ &= x^2(x - 1) - 4(x - 1) \\ &= (x^2 - 4)(x - 1) \\ &= (x + 2)(x - 2)(x - 1) \end{aligned}$$

積分区間である $0 \leqq x \leqq 2$ において、$f(x)$ の符号がどのように変化するかを調べる。 $f(x) = 0$ となるのは $x = -2, 1, 2$ のときであるから、区間 $0 \leqq x \leqq 2$ における符号の変化は $x = 1$ を境に起こる。

区間 $0 \leqq x \leqq 1$ のとき $x+2 > 0$、$x-2 < 0$、$x-1 \leqq 0$ より、$f(x) \geqq 0$ である。

区間 $1 \leqq x \leqq 2$ のとき $x+2 > 0$、$x-2 \leqq 0$、$x-1 \geqq 0$ より、$f(x) \leqq 0$ である。

したがって、与えられた定積分は $x = 1$ を境界として次のように区間を分けて計算できる。

$$\begin{aligned} \int_0^2 |x^3 - x^2 - 4x + 4| dx &= \int_0^2 |f(x)| dx \\ &= \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 \{-f(x)\} dx \\ &= \int_0^1 f(x) dx - \int_1^2 f(x) dx \end{aligned}$$

ここで、不定積分 $\int f(x) dx$ を計算しておく。

$$\int (x^3 - x^2 - 4x + 4) dx = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x + C \quad (C は積分定数)$$

この不定積分の関数部分を $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x$ とおくと、求める定積分は $F(1) - F(0) - \{F(2) - F(1)\}$ と表せる。それぞれの値を求める。

$$\begin{aligned} F(0) &= 0 \\ F(1) &= \frac{1}{4} - \frac{1}{3} - 2 + 4 = \frac{3 - 4 - 24 + 48}{12} = \frac{23}{12} \\ F(2) &= \frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 8 + 8 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \end{aligned}$$

これらを代入して計算を完了する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 f(x) dx - \int_1^2 f(x) dx &= (F(1) - F(0)) - (F(2) - F(1)) \\ &= 2F(1) - F(0) - F(2) \\ &= 2 \cdot \frac{23}{12} - 0 - \frac{4}{3} \\ &= \frac{23}{6} - \frac{8}{6} \\ &= \frac{15}{6} \\ &= \frac{5}{2} \end{aligned}$$

解説

絶対値を含む定積分の典型問題である。絶対値記号を外すためには、積分区間内で中身の関数が正となるか負となるかを調べ、符号の変わる点を境界として積分区間を分割する必要がある。今回の関数は、前2項と後ろ2項をそれぞれ共通因数でくくることで容易に因数分解でき、符号変化の境界となる $x$ の値を簡単に見つけることができる。

計算ミスを防ぐための工夫として、定積分の計算をいきなり進めるのではなく、先に不定積分 $F(x)$ を求めておき、最後に値を代入する形をとると見通しが良くなる。また、複数の定積分を足し引きする際に、それぞれを完全に計算しきってから合わせるのではなく、今回のように $2F(1) - F(0) - F(2)$ と式を整理してから代入を進めると、計算の手間が省け、ミスも減らすことができる。

答え

$$\frac{5}{2}$$