数学2 定積分 問題 48 解説

方針・初手

絶対値記号を含む関数の定積分である。積分区間 $0 \le x \le 1$ において、被積分関数の中身 $x^2 - ax = x(x - a)$ の符号がどのように変化するかを調べる。

$x(x - a) = 0$ となるのは $x = 0, a$ のときである。したがって、積分区間 $0 \le x \le 1$ 内に $x = a$ が含まれるかどうか、すなわち $a$ の値によって絶対値記号の外れ方が変わるため、場合分けを行って定積分を計算する。

解法1

定積分 $I = \int_0^1 |x^2 - ax| dx$ とおく。

$x^2 - ax = x(x - a)$ であり、積分区間は $0 \le x \le 1$ である。この区間において $x \ge 0$ であるため、$x - a$ の符号によって場合分けを行う。

(i) $a \le 0$ のとき

$0 \le x \le 1$ において $x - a \ge 0$ であるから、$x(x - a) \ge 0$ となる。 したがって、絶対値記号はそのまま外れる。

$$I = \int_0^1 (x^2 - ax) dx$$

$$I = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 \right]_0^1$$

$$I = \frac{1}{3} - \frac{a}{2}$$

条件より $I = \frac{1}{3}$ であるから、

$$\frac{1}{3} - \frac{a}{2} = \frac{1}{3}$$

これを解いて $a = 0$ を得る。これは場合分けの条件 $a \le 0$ を満たす。

(ii) $0 < a < 1$ のとき

$0 \le x \le a$ において $x - a \le 0$ より $x(x - a) \le 0$ となり、 $a \le x \le 1$ において $x - a \ge 0$ より $x(x - a) \ge 0$ となる。 したがって、積分区間を $0$ から $a$ と、$a$ から $1$ に分けて計算する。

$$I = \int_0^a -(x^2 - ax) dx + \int_a^1 (x^2 - ax) dx$$

それぞれの定積分を計算する。

$$\int_0^a (-x^2 + ax) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 \right]_0^a = -\frac{1}{3}a^3 + \frac{1}{2}a^3 = \frac{1}{6}a^3$$

$$\int_a^1 (x^2 - ax) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 \right]_a^1 = \left( \frac{1}{3} - \frac{a}{2} \right) - \left( \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{2}a^3 \right) = \frac{1}{3} - \frac{a}{2} + \frac{1}{6}a^3$$

これらを足し合わせて、

$$I = \frac{1}{6}a^3 + \left( \frac{1}{3} - \frac{a}{2} + \frac{1}{6}a^3 \right) = \frac{1}{3}a^3 - \frac{a}{2} + \frac{1}{3}$$

条件より $I = \frac{1}{3}$ であるから、

$$\frac{1}{3}a^3 - \frac{a}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{1}{3}a^3 - \frac{a}{2} = 0$$

$$a \left( \frac{1}{3}a^2 - \frac{1}{2} \right) = 0$$

$0 < a < 1$ より $a \neq 0$ であるから、

$$\frac{1}{3}a^2 - \frac{1}{2} = 0$$

$$a^2 = \frac{3}{2}$$

$a > 0$ より $a = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ となる。 しかし、$\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{6} < 3$ であるから、$1 < \frac{\sqrt{6}}{2} < 1.5$ となり、条件 $0 < a < 1$ を満たさない。 よって、この区間に解は存在しない。

(iii) $a \ge 1$ のとき

$0 \le x \le 1$ において $x - a \le 0$ であるから、$x(x - a) \le 0$ となる。 したがって、絶対値記号はマイナスをつけて外れる。

$$I = \int_0^1 -(x^2 - ax) dx$$

$$I = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2 \right]_0^1$$

$$I = -\frac{1}{3} + \frac{a}{2}$$

条件より $I = \frac{1}{3}$ であるから、

$$-\frac{1}{3} + \frac{a}{2} = \frac{1}{3}$$

$$\frac{a}{2} = \frac{2}{3}$$

これを解いて $a = \frac{4}{3}$ を得る。これは場合分けの条件 $a \ge 1$ を満たす。

(i), (ii), (iii) より、求める実数 $a$ の値は $a = 0, \frac{4}{3}$ である。

解説

絶対値を含む定積分の典型問題である。「被積分関数の符号が変わるところで積分区間を分ける」という定石通りに処理すればよい。

放物線 $y = x^2 - ax$ と $x$ 軸で囲まれた面積の計算として視覚的に捉えることも有効である。積分区間 $0 \le x \le 1$ と、$x$ 切片である $0, a$ の位置関係によって、グラフが $x$ 軸の上側にあるか下側にあるかが変わるため、自然と $a \le 0$、$0 < a < 1$、$a \ge 1$ の3つの場合分けが導き出される。

(ii) の場合分けで導出された解が条件を満たさないことを見落とさないよう注意が必要である。求まった値が前提条件に合致するかどうか、常に確認する習慣をつけておきたい。

答え

$$a = 0, \frac{4}{3}$$