数学2 定積分 問題 49 解説

方針・初手

積分区間が $-1$ から $1$ までの定数であるため、定積分 $\int_{-1}^{1} f(t) dt$ や $\int_{-1}^{1} tf(t) dt$ は $x$ によらない定数となることに着目する。

被積分関数の中に変数 $x$ が含まれているので、まずは式を展開して $x$ を積分の外にくくり出す。その後、定数となる定積分を文字（例えば $a, b$ など）でおき、与式を $f(x)$ の式として表す。これを再び定積分の定義式に代入し、$a, b$ についての連立方程式を解く。

解法1

与えられた等式を変形する。

$$f(x) = x^2 + 2 + \int_{-1}^{1} (xf(t) - tf(t)) dt$$

$$f(x) = x^2 + x\int_{-1}^{1} f(t) dt - \int_{-1}^{1} tf(t) dt + 2$$

ここで、定積分は定数であるから、

$$a = \int_{-1}^{1} f(t) dt, \quad b = \int_{-1}^{1} tf(t) dt$$

とおくと、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = x^2 + ax - b + 2$$

この $f(x)$ を $a$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} a &= \int_{-1}^{1} (t^2 + at - b + 2) dt \\ &= \int_{-1}^{1} (t^2 - b + 2) dt + \int_{-1}^{1} at dt \end{aligned}$$

偶関数・奇関数の性質を利用して定積分を計算する。

$$\begin{aligned} a &= 2\int_{0}^{1} (t^2 - b + 2) dt + 0 \\ &= 2 \left[ \frac{1}{3}t^3 + (2 - b)t \right]_0^1 \\ &= 2 \left( \frac{1}{3} + 2 - b \right) \\ &= \frac{14}{3} - 2b \end{aligned}$$

整理して、次の式を得る。

$$a + 2b = \frac{14}{3} \quad \cdots (1)$$

同様に、$f(x)$ を $b$ の式に代入する。

$$\begin{aligned} b &= \int_{-1}^{1} t(t^2 + at - b + 2) dt \\ &= \int_{-1}^{1} (t^3 + at^2 - (b - 2)t) dt \\ &= \int_{-1}^{1} at^2 dt + \int_{-1}^{1} (t^3 - (b - 2)t) dt \end{aligned}$$

奇関数の定積分は $0$ となるため、

$$\begin{aligned} b &= 2\int_{0}^{1} at^2 dt + 0 \\ &= 2a \left[ \frac{1}{3}t^3 \right]_0^1 \\ &= \frac{2}{3}a \end{aligned}$$

整理して、次の式を得る。

$$2a - 3b = 0 \quad \cdots (2)$$

(1), (2) を連立して解く。(2) より $b = \frac{2}{3}a$ であるから、これを (1) に代入して、

$$a + 2 \left( \frac{2}{3}a \right) = \frac{14}{3}$$

$$\frac{7}{3}a = \frac{14}{3}$$

$$a = 2$$

このとき、$b$ の値は、

$$b = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$$

以上より、$f(x) = x^2 + 2x - \frac{4}{3} + 2 = x^2 + 2x + \frac{2}{3}$ となる。

解説

定積分を含む関数方程式の典型的な問題である。積分区間が定数か変数かで解法が分かれるが、本問のように積分区間が定数の場合は、定積分を定数とおく手法が有効である。

被積分関数に $x$ と $t$ が混在している場合、$t$ についての積分においては $x$ は定数扱いとなる。そのため、あらかじめ展開して $x$ を積分の外に出しておくことが不可欠である。

また、積分区間が $[-1, 1]$ のように原点に関して対称であるため、$\int_{-1}^{1} t^n dt$ の計算において偶関数と奇関数の性質を用いると、計算量を減らしミスを防ぐことができる。

答え

$$f(x) = x^2 + 2x + \frac{2}{3}$$