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数学3 微分の基本問題 3 解説

方針・初手

与えられた2つの整式をそれぞれ因数分解し、共通因数を見つけることで最大公約数 $g_t(x)$ を求める。得られた $g_t(x)$ を積分 $f(x)$ に代入するが、被積分関数に絶対値が含まれているため、積分区間における絶対値の中身の符号変化に注意する。積分変数は $t$ であり、$x$ ではない点に気をつける。絶対値を外すために、$0 \le t \le x$ の範囲における $x^2$ と $t$ の大小関係で場合分けを行い、定積分を計算する。最後に、微分可能の定義に従って $x=1$ での右側微分係数と左側微分係数が一致することを示す。

解法1

(1)

与えられた2つの整式をそれぞれ $P(x), Q(x)$ とおく。

$$\begin{aligned} P(x) &= x^3 - 2tx^2 - tx + 2t^2 \\ &= x^2(x - 2t) - t(x - 2t) \\ &= (x^2 - t)(x - 2t) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} Q(x) &= 2x^3 - tx^2 - 2tx + t^2 \\ &= x^2(2x - t) - t(2x - t) \\ &= (x^2 - t)(2x - t) \end{aligned}$$

これら2つの整式の最大公約数は共通因数である $x^2 - t$ となる。整式の最大公約数は通常、最高次数の係数を $1$ として定めるため、求める $g_t(x)$ は以下の通りである。

$$g_t(x) = x^2 - t$$

(2)

(1) の結果より、$f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = \int_0^x |x^2 - t| dt$$

積分変数は $t$ であり、積分区間は $0 \le t \le x$ である。この区間において絶対値の中身 $x^2 - t$ の符号が変わるかどうかは、$x^2$ と $x$ の大小関係によって決まる。$x > 0$ であるから、以下の2つの場合に分けて考える。

(i) $x^2 \ge x$、すなわち $x \ge 1$ のとき

積分区間 $0 \le t \le x$ においてつねに $t \le x^2$ となるため、$x^2 - t \ge 0$ である。したがって、絶対値記号はそのまま外すことができる。

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_0^x (x^2 - t) dt \\ &= \left[ x^2 t - \frac{1}{2}t^2 \right]_0^x \\ &= x^3 - \frac{1}{2}x^2 \end{aligned}$$

(ii) $x^2 < x$、すなわち $0 < x < 1$ のとき

積分区間 $0 \le t \le x$ の間に $t = x^2$ となる点が存在する。 $0 \le t \le x^2$ のときは $x^2 - t \ge 0$、 $x^2 \le t \le x$ のときは $x^2 - t \le 0$ となるため、区間を分割して絶対値を外す。

$$\begin{aligned} f(x) &= \int_0^{x^2} (x^2 - t) dt + \int_{x^2}^x -(x^2 - t) dt \\ &= \left[ x^2 t - \frac{1}{2}t^2 \right]_0^{x^2} + \left[ \frac{1}{2}t^2 - x^2 t \right]_{x^2}^x \\ &= \left( x^4 - \frac{1}{2}x^4 \right) + \left( \frac{1}{2}x^2 - x^3 \right) - \left( \frac{1}{2}x^4 - x^4 \right) \\ &= \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{2}x^2 - x^3 + \frac{1}{2}x^4 \\ &= x^4 - x^3 + \frac{1}{2}x^2 \end{aligned}$$

(3)

$f(x)$ が $x = 1$ において微分可能であることを示すには、右側微分係数と左側微分係数が存在し、それらが一致することを示せばよい。 (2) の結果から $f(1) = 1^3 - \frac{1}{2}\cdot 1^2 = \frac{1}{2}$ である。

$x \to 1+0$ のときの右側微分係数を計算する。このとき $x > 1$ としてよいので $f(x) = x^3 - \frac{1}{2}x^2$ を用いる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 1+0} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} &= \lim_{x \to 1+0} \frac{x^3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}}{x - 1} \\ &= \lim_{x \to 1+0} \frac{2x^3 - x^2 - 1}{2(x - 1)} \\ &= \lim_{x \to 1+0} \frac{(x - 1)(2x^2 + x + 1)}{2(x - 1)} \\ &= \lim_{x \to 1+0} \frac{2x^2 + x + 1}{2} \\ &= \frac{2 + 1 + 1}{2} = 2 \end{aligned}$$

次に、$x \to 1-0$ のときの左側微分係数を計算する。このとき $0 < x < 1$ としてよいので $f(x) = x^4 - x^3 + \frac{1}{2}x^2$ を用いる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 1-0} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} &= \lim_{x \to 1-0} \frac{x^4 - x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}}{x - 1} \\ &= \lim_{x \to 1-0} \frac{2x^4 - 2x^3 + x^2 - 1}{2(x - 1)} \\ &= \lim_{x \to 1-0} \frac{(x - 1)(2x^3 + x + 1)}{2(x - 1)} \\ &= \lim_{x \to 1-0} \frac{2x^3 + x + 1}{2} \\ &= \frac{2 + 1 + 1}{2} = 2 \end{aligned}$$

右側微分係数と左側微分係数がともに $2$ となり一致するため、$f(x)$ は $x = 1$ において微分可能である。

解説

絶対値を含む関数の定積分は、被積分関数の符号が変わる境界を的確に捉え、積分区間を分割して絶対値を外すのが定石である。本問では積分変数が $t$ であり、$x$ は積分計算においては定数として扱う。積分区間 $0 \le t \le x$ に境界 $t = x^2$ が含まれるかどうかで、$x$ の値による場合分けが発生する点に注意したい。微分可能性の証明については、導関数 $f'(x)$ の極限が一致することを示す簡略的な手法もあるが、微分の定義式を用いたほうが論理的な飛躍がなく確実である。