数学3 微分の基本 問題 4 解説

方針・初手

底と指数の両方に変数 $x$ が含まれる関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の微分である。このような関数に対しては、両辺の自然対数をとってから微分する「対数微分法」を用いるのが定石である。または、指数関数 $e$ を底とする形 $y = e^{\frac{\log x}{x}}$ に変形し、合成関数の微分法を用いることもできる。

解法1

$x > 0$ より $y = x^{\frac{1}{x}} > 0$ である。

両辺の自然対数をとると、

$$\log y = \log \left( x^{\frac{1}{x}} \right)$$

対数の性質より、

$$\log y = \frac{1}{x} \log x$$

両辺を $x$ について微分すると、合成関数の微分法および積の微分法より、

$$\frac{y'}{y} = \left( \frac{1}{x} \right)' \log x + \frac{1}{x} (\log x)'$$

$$\frac{y'}{y} = -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \log x}{x^2}$$

両辺に $y$ を掛けると、

$$y' = y \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}$$

$y = x^{\frac{1}{x}}$ を代入して、

$$y' = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \log x}{x^2}$$

解法2

$x > 0$ より $x = e^{\log x}$ と表すことができる。これを用いて関数を変形すると、

$$y = x^{\frac{1}{x}} = \left( e^{\log x} \right)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\log x}{x}}$$

両辺を $x$ で微分すると、合成関数の微分法と商の微分法より、

$$y' = e^{\frac{\log x}{x}} \cdot \left( \frac{\log x}{x} \right)'$$

$$y' = e^{\frac{\log x}{x}} \cdot \frac{(\log x)' \cdot x - \log x \cdot (x)'}{x^2}$$

$$y' = e^{\frac{\log x}{x}} \cdot \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2}$$

$$y' = e^{\frac{\log x}{x}} \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}$$

最後に $e^{\frac{\log x}{x}} = x^{\frac{1}{x}}$ に戻して、

$$y' = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \log x}{x^2}$$

解説

底と指数の両方に変数が含まれる関数 $y = f(x)^{g(x)}$ の導関数を求める代表的な問題である。この形を見たときは、直ちに対数微分法を思い浮かべたい。対数をとる際は真数条件に注意する必要があるが、本問では $x>0$ という条件が与えられているため、常に $y>0$ となり、絶対値記号をつけることなくスムーズに自然対数をとることができる。

解法2のように $f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\log f(x)}$ と変形して微分する手法も非常に強力であり、極限計算など他の場面でも応用が利くため、習熟しておきたい。

答え

$$y' = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \log x}{x^2}$$