数学3 微分の基本 問題 5 解説

方針・初手

媒介変数表示された関数の微分の公式を用いる。$x$ と $y$ が媒介変数 $\theta$ を用いて表されているとき、$\frac{dy}{dx}$ は $\frac{dy}{d\theta}$ と $\frac{dx}{d\theta}$ を用いて計算できる。計算の際、分母となる $\frac{dx}{d\theta}$ が $0$ にならないことを、与えられた条件 $a > b > 0$ から確認する。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$\begin{cases} x = a\theta - b\sin\theta \\ y = a - b\cos\theta \end{cases}$$

$x$ を $\theta$ で微分すると、

$$\frac{dx}{d\theta} = a - b\cos\theta$$

$y$ を $\theta$ で微分すると、

$$\frac{dy}{d\theta} = b\sin\theta$$

ここで、問題の条件 $a > b > 0$ について考える。 すべての実数 $\theta$ に対して $-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$ であるため、

$$-b \leqq -b\cos\theta \leqq b$$

辺々に $a$ を加えて、

$$a - b \leqq a - b\cos\theta \leqq a + b$$

$a > b$ より $a - b > 0$ であるから、常に

$$\frac{dx}{d\theta} = a - b\cos\theta > 0$$

が成り立つ。よって分母は $0$ にならない。

したがって、媒介変数表示の微分法より、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{b\sin\theta}{a - b\cos\theta}$$

解説

媒介変数表示で与えられた関数の第1次導関数を求める、非常に基本的な計算問題である。 単に公式に当てはめるだけでなく、分母 $\frac{dx}{d\theta}$ が $0$ にならないことを、与えられた定数の条件 $a > b > 0$ を用いて論証することが重要である。この確認を怠ると減点の対象になり得る。

答え

$$\frac{dy}{dx} = \frac{b\sin\theta}{a - b\cos\theta}$$