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数学3 微分の基本問題 6 解説

方針・初手

与えられた関数方程式から導関数の定義式を作り出し、微分可能性と導関数を求める典型問題である。(1)では微分の定義式 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を作り出すために、関係式で $y = x+h$ と置き換える。(2)では(1)で求めた $f'(x)$ の式を繰り返し微分して規則性を推測し、数学的帰納法を用いて証明する。

解法1

(1)

与えられた関係式は以下の通りである。

$$f(x) - f(y) = (x - y)f(x)f(y)$$

この式において、$x \neq 0$ を固定し、$y = x + h$（ただし $h \neq 0$ かつ $x + h \neq 0$）とおくと、

$$f(x) - f(x+h) = \{x - (x+h)\}f(x)f(x+h)$$

$$f(x) - f(x+h) = -h f(x)f(x+h)$$

$$f(x+h) - f(x) = h f(x)f(x+h)$$

両辺を $h$ で割ると、次の式が得られる。

$$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = f(x)f(x+h)$$

問題文より、$f(x)$ は $x \neq 0$ において連続関数であるから、

$$\lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x)$$

が成り立つ。したがって、導関数の定義に従って極限を計算すると、

$$\begin{aligned} \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} &= \lim_{h \to 0} f(x)f(x+h) \\ &= f(x) \cdot f(x) \\ &= \{f(x)\}^2 \end{aligned}$$

右辺の極限値が存在するため、$f(x)$ は $x \neq 0$ において微分可能である。また、その導関数は次のように表される。

$$f'(x) = \{f(x)\}^2$$

(2)

(1) の結果より、$f'(x) = \{f(x)\}^2$ である。これをさらに $x$ で順次微分していくと、

$$f''(x) = 2f(x) \cdot f'(x) = 2f(x) \cdot \{f(x)\}^2 = 2 \{f(x)\}^3$$

$$f'''(x) = 2 \cdot 3 \{f(x)\}^2 \cdot f'(x) = 6 \{f(x)\}^2 \cdot \{f(x)\}^2 = 6 \{f(x)\}^4$$

この結果から、第 $n$ 次導関数は以下のようになると推測できる。

$$f^{(n)}(x) = n! \{f(x)\}^{n+1}$$

これを数学的帰納法により証明する。

(i) $n=1$ のとき

$$f^{(1)}(x) = f'(x) = \{f(x)\}^2 = 1! \{f(x)\}^{1+1}$$

となり、推測した式は成り立つ。

(ii) $n=k$（$k$ は自然数）のとき、推測した式が成り立つと仮定する。すなわち、

$$f^{(k)}(x) = k! \{f(x)\}^{k+1}$$

が成り立つとする。この式の両辺を $x$ で微分すると、合成関数の微分法により、

$$\begin{aligned} f^{(k+1)}(x) &= \frac{d}{dx} \left[ k! \{f(x)\}^{k+1} \right] \\ &= k! \cdot (k+1) \{f(x)\}^k \cdot f'(x) \\ &= (k+1)! \{f(x)\}^k \cdot \{f(x)\}^2 \\ &= (k+1)! \{f(x)\}^{k+2} \end{aligned}$$

となり、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(i)、(ii) より、すべての自然数 $n$ について、

$$f^{(n)}(x) = n! \{f(x)\}^{n+1}$$

が成り立つ。

解説

関数方程式から微分の定義式を構成する、微積分における標準的な問題である。関係式に代入する文字を工夫して $\displaystyle \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ の形を作り出すのが最大のポイントである。また、極限を計算する過程で、「$f(x)$ が連続である」という条件を用いて $\displaystyle \lim_{h \to 0} f(x+h) = f(x)$ としている部分の記述を忘れないように注意したい。(2)のように規則性を推測して証明する問題では、数学的帰納法を用いるのが最も確実な方針である。