トップ› 基礎問題› 数学3› 微分法› 微分の基本› 問題 7

数学3 微分の基本問題 7 解説

方針・初手

与えられた近似式の公式を利用するために関数を設定し、微分係数を計算する。また、具体的な数値の近似を求める際には、近傍の計算しやすい値（本問では $5^5 = 3125$）を用いて式を変形し、微小量 $x$ を作り出して近似式を適用する。

解法1

関数 $f(t) = \sqrt[5]{t} = t^{\frac{1}{5}}$ とおく。導関数および第2次導関数は以下のようになる。

$$f'(t) = \frac{1}{5}t^{-\frac{4}{5}}$$

$$f''(t) = -\frac{4}{25}t^{-\frac{9}{5}}$$

問題文の近似式の公式に当てはめるため、$a=1$ とすると、

$$f(1) = 1$$

$$f'(1) = \frac{1}{5}$$

$$f''(1) = -\frac{4}{25}$$

これらを公式に代入する。$\sqrt[5]{1+x} = f(1+x)$ の1次近似式は、

$$f(1) + f'(1)x = 1 + \frac{1}{5}x$$

2次近似式は、

$$f(1) + f'(1)x + \frac{f''(1)}{2}x^2 = 1 + \frac{1}{5}x - \frac{2}{25}x^2$$

次に、$\sqrt[5]{3100}$ の近似値を求める。 $3100$ に近い $5$ 乗の数として、$5^5 = 3125$ に着目し、次のように変形する。

$$3100 = 3125 - 25 = 5^5 \left( 1 - \frac{25}{3125} \right) = 5^5 \left( 1 - \frac{1}{125} \right)$$

よって、$\sqrt[5]{3100}$ は次のように変形できる。

$$\sqrt[5]{3100} = \sqrt[5]{5^5 \left( 1 - \frac{1}{125} \right)} = 5 \sqrt[5]{1 - \frac{1}{125}}$$

この変形により、(1) で求めた $\sqrt[5]{1+x}$ の1次近似式において $x = -\frac{1}{125}$ としたものを適用できる。

$$\sqrt[5]{1 - \frac{1}{125}} \approx 1 + \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{125} \right) = 1 - \frac{1}{625}$$

したがって、求める近似値は以下のようになる。

$$\sqrt[5]{3100} \approx 5 \left( 1 - \frac{1}{625} \right) = 5 - \frac{5}{625} = 5 - \frac{1}{125} = 5 - 0.008 = 4.992$$

解説

関数の近似式（テイラー展開による1次・2次近似）を利用して、具体的な無理数の近似値を求める典型的な問題である。 (3) では、根号の中身を計算しやすい「（整数の累乗）×（$1 + x$）」の形にうまく括り出すことがポイントである。本問では $5^5 = 3125$ であることに気づけるかが鍵となる。また、計算の際は小数を早い段階で作るよりも、分数のまま展開して最後に小数へ直すほうが計算ミスを減らしやすい。