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数学3 微分の基本問題 9 解説

方針・初手

極限で定義された関数 $f(x)$ の式を具体的に求めるために、$x^{2n}$ の極限がどのように振る舞うかを考える。公比 $x^2$ の値によって極限が変わるため、$|x| < 1$、$x = 1$、$x = -1$、$|x| > 1$ の4つの場合に分けて $f(x)$ の表す関数を求める。求めた $f(x)$ が $x = \pm 1$ を境目に異なる式で表されるため、それぞれにおいて左右の極限と関数値が一致するように定数 $a, b$ の条件を立式する。

解法1

関数 $f(x)$ を $x$ の値によって場合分けして求める。

(i) $|x| < 1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} x^{2n} = 0$、$\lim_{n \to \infty} x^{2n+1} = 0$ であるから

$$f(x) = \frac{0 + ax^2 + bx + 1}{0 + 1} = ax^2 + bx + 1$$

(ii) $x = 1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} x^{2n} = 1$、$\lim_{n \to \infty} x^{2n+1} = 1$ であるから

$$f(1) = \frac{1 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1}{1 + 1} = \frac{a + b + 2}{2}$$

(iii) $x = -1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} x^{2n} = 1$、$\lim_{n \to \infty} x^{2n+1} = -1$ であるから

$$f(-1) = \frac{-1 + a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 1}{1 + 1} = \frac{a - b}{2}$$

(iv) $|x| > 1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} x^{2n} = \infty$ であるから、分母分子を $x^{2n}$ で割ると

$$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x + ax^{2-2n} + bx^{1-2n} + x^{-2n}}{1 + x^{-2n}} = \frac{x + 0 + 0 + 0}{1 + 0} = x$$

以上より、関数 $f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = \begin{cases} x & (|x| > 1) \\ \frac{a + b + 2}{2} & (x = 1) \\ \frac{a - b}{2} & (x = -1) \\ ax^2 + bx + 1 & (|x| < 1) \end{cases}$$

区間 $|x| > 1$ および $|x| < 1$ において、$f(x)$ は整式で表されるため連続である。したがって、$f(x)$ がすべての実数 $x$ に対して連続となる条件は、$x = 1$ および $x = -1$ において連続となることである。

$x = 1$ において連続となる条件は

$$\lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1-0} f(x) = f(1)$$

すなわち

$$\lim_{x \to 1+0} x = \lim_{x \to 1-0} (ax^2 + bx + 1) = \frac{a + b + 2}{2}$$

$$1 = a + b + 1 = \frac{a + b + 2}{2}$$

これが成り立つためには

$$a + b = 0 \quad \cdots \text{①}$$

$x = -1$ において連続となる条件は

$$\lim_{x \to -1+0} f(x) = \lim_{x \to -1-0} f(x) = f(-1)$$

すなわち

$$\lim_{x \to -1+0} (ax^2 + bx + 1) = \lim_{x \to -1-0} x = \frac{a - b}{2}$$

$$a - b + 1 = -1 = \frac{a - b}{2}$$

これが成り立つためには

$$a - b = -2 \quad \cdots \text{②}$$

①、②の連立方程式を解く。 ①と②の辺々を足すと $2a = -2$ より $a = -1$。これを①に代入して $b = 1$。

これは $a, b$ の値として適している。

解説

数列の極限で定義された関数の連続性を問う標準的な問題である。極限の変数が $n$ であり、$x$ は定数として扱って極限を計算することに注意する。 $r^n$ の極限の基本通り、$r$ に相当する $x^2$ の大きさが $1$ より大きいか小さいか、または $1$ かどうかで場合分けを行う。連続性の確認では、境目となる $x = \pm 1$ において「右側極限」「左側極限」「関数値」の3つがすべて等しくなるという定義を正確に立式することが重要である。