数学3 微分の基本 問題 11 解説

方針・初手

逆関数の微分法 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ を用いる。求める逆関数を $y$ とおき、$x = \tan y$ の両辺を $y$ で微分することで導関数を計算する。

解法1

求める逆関数を $y$ とすると、

$$x = \tan y \quad \left( -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \right)$$

である。

逆関数の微分法より、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

が成り立つ。$x = \tan y$ の両辺を $y$ で微分すると、

$$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos^2 y}$$

となる。三角関数の相互関係 $\frac{1}{\cos^2 y} = 1 + \tan^2 y$ より、

$$\frac{dx}{dy} = 1 + \tan^2 y$$

となる。ここで、$x = \tan y$ であるから、

$$\frac{dx}{dy} = 1 + x^2$$

と表せる。

したがって、求める導関数は、

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$$

である。

解説

$\tan x$ の逆関数の導関数を求める基本的な問題である。高校数学の範囲では逆関数の記号 $\tan^{-1} x$ や $\arctan x$ を直接扱うことは少ないが、その導関数を求める計算は逆関数の微分法の代表的な応用例として頻出である。

逆関数の微分法 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ を用いた後、$y$ の式で表された導関数を、与えられた関係式（この場合は $x = \tan y$）を用いて $x$ の式に戻す操作がポイントとなる。ここでは $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ の公式が活躍する。

なお、逆関数が存在するためには元の関数が一対一対応（単調増加または単調減少）である必要がある。そのため、$\tan x$ の定義域を $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ （主値）に制限して考えるのが一般的である。

答え

$$\frac{1}{1+x^2}$$