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数学3 微分の基本問題 12 解説

方針・初手

分数関数の微分計算である。分子を展開してから商の微分法を用いるのが定石である。計算の過程で共通因数が現れる場合は、展開しきらずに括り出して約分すると計算ミスを防ぐことができる。また、複数の積や商からなる関数であるため、対数微分法を用いることも有効である。

解法1

与えられた関数の分子を展開すると、以下のようになる。

$$y = \frac{x^2 - 3x + 2}{(x+1)^2}$$

商の微分法により、導関数を計算する。

$$\begin{aligned} y' &= \frac{(x^2 - 3x + 2)'(x+1)^2 - (x^2 - 3x + 2)\{(x+1)^2\}'}{\{(x+1)^2\}^2} \\ &= \frac{(2x - 3)(x+1)^2 - (x^2 - 3x + 2) \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4} \end{aligned}$$

分母分子を $x+1$ で割って整理する。

$$\begin{aligned} y' &= \frac{(2x - 3)(x+1) - 2(x^2 - 3x + 2)}{(x+1)^3} \\ &= \frac{2x^2 - x - 3 - (2x^2 - 6x + 4)}{(x+1)^3} \\ &= \frac{5x - 7}{(x+1)^3} \end{aligned}$$

解法2

対数微分法を用いる。

$$y = \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)^2}$$

両辺の絶対値の自然対数をとる。

$$\log|y| = \log|x-1| + \log|x-2| - 2\log|x+1|$$

両辺を $x$ で微分する。

$$\begin{aligned} \frac{y'}{y} &= \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{2}{x+1} \\ &= \frac{(x-2)(x+1) + (x-1)(x+1) - 2(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+1)} \\ &= \frac{(x^2 - x - 2) + (x^2 - 1) - 2(x^2 - 3x + 2)}{(x-1)(x-2)(x+1)} \\ &= \frac{5x - 7}{(x-1)(x-2)(x+1)} \end{aligned}$$

ゆえに、導関数は以下のように求まる。

$$\begin{aligned} y' &= y \cdot \frac{5x - 7}{(x-1)(x-2)(x+1)} \\ &= \frac{(x-1)(x-2)}{(x+1)^2} \cdot \frac{5x - 7}{(x-1)(x-2)(x+1)} \\ &= \frac{5x - 7}{(x+1)^3} \end{aligned}$$

解説

分数関数の微分における基本的な計算問題である。解法1のように商の微分法を直接用いる場合、分子の微分で現れる因数（ここでは $x+1$）を括り出して約分する操作を意識すると、計算量が減りミスも防ぐことができる。また、解法2の対数微分法は、式が複雑な積や商の形で与えられている場合に、計算の見通しを良くする強力な手法である。