数学3 微分の基本 問題 13 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ に対して、素直に3次導関数まで計算し、$x=0$ を代入する。合成関数の微分法と積の微分法を慎重に適用していく。

解法1

$f(x) = e^{x^3}$ に対して、$x=0$ を代入すると、

$$f(0) = e^0 = 1$$

となる。

次に、$f(x)$ を $x$ で微分すると、合成関数の微分法により、

$$\begin{aligned} f'(x) &= (x^3)' e^{x^3} \\ &= 3x^2 e^{x^3} \end{aligned}$$

となる。これに $x=0$ を代入すると、

$$f'(0) = 3 \cdot 0^2 \cdot e^0 = 0$$

である。

さらに、$f'(x)$ を微分して第2次導関数を求める。積の微分法と合成関数の微分法を用いると、

$$\begin{aligned} f''(x) &= (3x^2)' e^{x^3} + 3x^2 (e^{x^3})' \\ &= 6x e^{x^3} + 3x^2 \cdot 3x^2 e^{x^3} \\ &= (6x + 9x^4) e^{x^3} \end{aligned}$$

となる。これに $x=0$ を代入すると、

$$f''(0) = (0 + 0) e^0 = 0$$

である。

最後に、$f''(x)$ を微分して第3次導関数を求める。同様に積の微分法を用いると、

$$\begin{aligned} f'''(x) &= (6x + 9x^4)' e^{x^3} + (6x + 9x^4) (e^{x^3})' \\ &= (6 + 36x^3) e^{x^3} + (6x + 9x^4) \cdot 3x^2 e^{x^3} \\ &= (6 + 36x^3 + 18x^3 + 27x^6) e^{x^3} \\ &= (6 + 54x^3 + 27x^6) e^{x^3} \end{aligned}$$

となる。これに $x=0$ を代入すると、

$$f'''(0) = (6 + 0 + 0) e^0 = 6$$

である。

以上より、求める多項式 $h(x)$ は、与えられた式に各値を代入して、

$$\begin{aligned} h(x) &= f(0) + f'(0)x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 + \frac{1}{6}f'''(0)x^3 \\ &= 1 + 0 \cdot x + \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot x^2 + \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot x^3 \\ &= 1 + x^3 \end{aligned}$$

となる。

解説

与えられた多項式 $h(x)$ は、$f(x)$ のマクローリン展開（$x=0$ を中心とするテイラー展開）の3次までの項を取り出したものである。高次導関数を求める過程で計算ミスをしやすいので、項をくくり出して整理してから微分するなど、丁寧に式変形を行う必要がある。

なお、大学数学の知識になるが、$e^t$ のマクローリン展開は

$$e^t = 1 + t + \frac{t^2}{2!} + \frac{t^3}{3!} + \cdots$$

である。ここで $t = x^3$ とすると、

$$e^{x^3} = 1 + x^3 + \frac{(x^3)^2}{2!} + \cdots = 1 + x^3 + \frac{x^6}{2} + \cdots$$

となる。これより、3次以下の項からなる多項式近似が $1 + x^3$ になることは直ちに予想できる。この知識があれば、計算結果の強力な検算手段となる。

答え

$h(x) = 1 + x^3$