数学3 微分の基本 問題 14 解説

方針・初手

対数の真数が累乗の形をしているため、対数の性質を用いて式を扱いやすい形に変形する。さらに、三角関数の半角の公式を用いて次数を下げることで、微分の計算を大幅に簡略化できる。

解法1

与えられた関数は次のように変形できる。

$$y = \log \left( 1 + \cos^2 \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{2}}$$

対数の性質により、指数を前に出す。

$$y = \frac{1}{2} \log \left( 1 + \cos^2 \frac{x}{2} \right)$$

ここで、半角の公式 $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ を用いて真数を変形する。

$$y = \frac{1}{2} \log \left( 1 + \frac{1 + \cos x}{2} \right)$$

$$y = \frac{1}{2} \log \left( \frac{3 + \cos x}{2} \right)$$

さらに対数の性質 $\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$ を用いる。

$$y = \frac{1}{2} \{ \log (3 + \cos x) - \log 2 \}$$

両辺を $x$ で微分する。$\log 2$ は定数であるため、微分すると $0$ になる。

$$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{(3 + \cos x)'}{3 + \cos x}$$

$$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{-\sin x}{3 + \cos x}$$

$$y' = -\frac{\sin x}{2(3 + \cos x)}$$

解法2

対数の性質を用いて変形したのち、合成関数の微分法によりそのまま計算する。

与式より、

$$y = \frac{1}{2} \log \left( 1 + \cos^2 \frac{x}{2} \right)$$

両辺を $x$ で微分する。

$$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \left( 1 + \cos^2 \frac{x}{2} \right)'$$

$$y' = \frac{1}{2 \left( 1 + \cos^2 \frac{x}{2} \right)} \cdot 2 \cos \frac{x}{2} \cdot \left( \cos \frac{x}{2} \right)'$$

$$y' = \frac{\cos \frac{x}{2}}{1 + \cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \left( -\sin \frac{x}{2} \right) \cdot \frac{1}{2}$$

$$y' = \frac{-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{4 \left( 1 + \cos^2 \frac{x}{2} \right)}$$

ここで、分子に2倍角の公式 $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ を、分母に半角の公式 $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ を適用する。

$$y' = \frac{-\sin x}{4 \left( 1 + \frac{1 + \cos x}{2} \right)}$$

$$y' = \frac{-\sin x}{4 \left( \frac{3 + \cos x}{2} \right)}$$

$$y' = -\frac{\sin x}{2(3 + \cos x)}$$

解説

対数関数の微分において、真数が複雑な場合はまず対数の性質を用いて式を分解・簡略化するのが定石である。また、三角関数の累乗が含まれる場合は、次数を下げる（今回は半角の公式を用いる）ことで、微分の計算ミスを減らし、結果を簡潔な形で表すことができる。

解法2のようにそのまま合成関数の微分法を用いてもよいが、最終的な形を整理するために結局2倍角・半角の公式を用いることになるため、微分の前に変形しておく解法1の方が計算の見通しが良い。

答え

$$y' = -\frac{\sin x}{2(3 + \cos x)}$$