数学3 微分の基本 問題 15 解説

方針・初手

底にも指数にも変数 $x$ が含まれる関数 $y = f(x)^{g(x)}$ の微分である。このような関数の導関数を求めるには、両辺の絶対値の自然対数をとってから $x$ で微分する「対数微分法」を用いるのが定石である。あるいは、底を $e$ に変換して $y = e^{g(x)\log f(x)}$ としてから合成関数の微分法を用いることも有効である。

解法1

$x > 0$ のとき $\sqrt{x} > 0$ であるから、与えられた関数 $y = (\sqrt{x})^x$ の両辺は正である。

両辺の自然対数をとると、

$$\log y = \log (\sqrt{x})^x$$

対数の性質より右辺を変形すると、

$$\log y = x \log x^{\frac{1}{2}}$$

$$\log y = \frac{1}{2} x \log x$$

この両辺を $x$ について微分すると、合成関数の微分法および積の微分法により、

$$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \left( (x)' \log x + x (\log x)' \right)$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \left( 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} \right)$$

$$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\log x + 1)$$

両辺に $y = (\sqrt{x})^x$ を掛けて $y'$ を求めると、

$$y' = \frac{1}{2} (\sqrt{x})^x (\log x + 1)$$

解法2

対数の性質 $A^B = e^{B \log A}$ ($A > 0$) を用いて、与えられた関数を底 $e$ の指数関数に変形する。

$$y = e^{x \log \sqrt{x}} = e^{\frac{1}{2} x \log x}$$

合成関数の微分法を用いて、この両辺を $x$ について微分する。

$$y' = e^{\frac{1}{2} x \log x} \cdot \left( \frac{1}{2} x \log x \right)'$$

$$y' = (\sqrt{x})^x \cdot \frac{1}{2} \left( (x)' \log x + x (\log x)' \right)$$

$$y' = \frac{1}{2} (\sqrt{x})^x \left( 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} \right)$$

$$y' = \frac{1}{2} (\sqrt{x})^x (\log x + 1)$$

解説

底にも指数にも変数が含まれる関数の微分は、対数微分法を用いるのが基本的な方針となる。対数をとる操作を行うため、両辺が正であることを確認する（または絶対値をつけてから対数をとる）習慣をつけておきたい。本問では定義域として $x > 0$ が与えられているため、値域も $y > 0$ となり、そのまま自然対数をとることができる。

また、最初の段階で $(\sqrt{x})^x = (x^{\frac{1}{2}})^x = x^{\frac{x}{2}}$ と変形し、$y = x^{\frac{x}{2}}$ としてから対数微分法を用いても同様に計算を進めることができる。解答の表記は $y' = \frac{1}{2} x^{\frac{x}{2}} (\log x + 1)$ としても正解である。

答え

$y' = \frac{1}{2} (\sqrt{x})^x (\log x + 1)$